Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x k+1 ] é l’intervallo in cui si interpola, si tratta di stimare in modo ottimale ilvaloremaxx∈[x k ,x k+1 ] |ω 3(x)|con ω 3 (x) = (x − x k−1 )(x − x k )(x − x k+1 )(x − x k+2 ). Conviene, per simmetria,riferirsi alla situazione convenzionale in cui x k−1 = −3h/2, x k = −h/2, x k+1 = h/2,x k+2 = 3h/2. In questo caso il polinomio ω 3 é pari ed ha la formaω 3 (x) = (x 2 − h 2 /4)(x 2 − 9h 2 /4)e nell’intervallo di interesse [−h/2, h/2] il suo massimo é chiaramente ottenuto inx = 0. Poiché ω 3 (0) = 9h 4 /16, si ottiene finalmente la stima|E 3 (x)| = |f (4) (ξ)||ω 3 (x)|4!≤ 3h4128 max |f (4) (x)|b) Conviene porre ulteriormente h = 1 e sfruttare la simmetria dei pesi, per la quale siha w 0 = w 3 , w 1 = w 2 , e ∑ i w 1 = 1. Calcolando per esempio w 2 , si ha:L 2 (x) =(x + 1/2)(x + 3/2)(x − 3/2)(1/2 + 3/2)(1/2 − 3/2)= · · · = − 1 2 x3 − 1 4 x2 + 9 8 x + 9 16da cui si ottienew 2 = w 1 =∫ 1/2−1/2w 0 = w 3 = 1 2La formula di quadratura cercata é quindi∫ xk+1L 2 (x)dx = · · · = 1324(1 − 26 )= − 124 24 .x kf(x)dx ≈ h 24 (−f(x k−1) + 13f(x k ) + 13f(x k+1 ) − f(x k+2 )).c) Per brevitá, diamo la formula direttamente come viene applicata nella valutazionedell’integrale. Indicando con x 0 , . . . , x 4 i nodi appartenenti all’intervallo [0, π], e conx −1 , x 5 gli ulteriori nodi adiacenti che vengono utilizzati dalla formula di quadratura,si ha:I 3,4 = h 24 [−f(x −1) + 12f(x 0 ) + 25f(x 1 ) + 24f(x 2 ) + 25f(x 3 ) + 12f(x 4 ) − f(x 5 )](piú in generale, per un numero qualsiasi di nodi, ogni nodo che ha almeno due nodi adestra e due a sinistra appartenenti all’intervallo di integrazione apparirá nella formula45