Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 11.04.05Esercizio 1. Esporre il metodo di soluzione di sistemi lineari per fattorizzazione LU,indicando anche un algoritmo di fattorizzazione non pivotata (6 punti).Esercizio 2.Considerato il seguente metodo iterativo per la soluzione di sistemi lineari:x k+1 = x k − β(Ax k − b)con β ∈ R parametro fissato,a) dare una condizione generale di convergenza nella ipotesi che A abbia autovalori positivi0 < λ 1 ≤ · · · ≤ λ n (4 punti);b) fornire un intervallo accettabile (anche se eventualmente non ottimale) per β nel casoin cui⎛A = ⎝ 2 1 0⎞1 3 1 ⎠0 1 2(3 punti);c) dire se in questo caso il metodo di Jacobi convergerebbe, ed eventualmente con qualecoefficiente di contrazione in norma ‖ · ‖ ∞ (3 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza quadratica per il metodo di Newton(6 punti).Considerando il metodo ottenuto sostituendo alla derivata di f il rapporto incrementale,x k+1 = x k −hf(x k + h) − f(x k ) f(x k),e supponendo che il calcolo di f sia effettuato a meno di un errore δ,b) discutere qualitativamente i criteri di scelta di h ed in particolare il motivo per cuinon puó essere troppo piccolo (2 punti);c) trovare il valore di h che rende massima l’efficienza dello schema per una funzione ftale che 0 < m 1 < f ′ (x) < M 1 , |f ′′ (x)| < M 2 (6 punti);d) dimostrare che, se f é convessa e crescente ed x 0 > ¯x, allora la successione x k édecrescente e limitata dal basso da ¯x (3+4 punti).109