Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

94 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
Für die Eindeutigkeit von P ist nach 7.19 und 9.5 die Eindeutigkeit nur für Mengen
∏
A j ×
j∈J
∏
i∈I\J
Ω i (J ⊂⊂ I, A j ∈ A j )
zu zeigen. Dieses erzeugt nämlich A I , ist ∩-stabil und enthält Ω I . Es gilt
P [ ∏ A j ×
j∈J
∏
i∈I\J
] [
Ω i = P π
−1
J
( ∏ A j ) ] = π J (P) [ ∏ ] [ ∏ ]
A j = PJ A j
j∈J
j∈J
j∈J
und damit ist P eindeutig bestimmt.
✷
10.5 Notation
In der Situation von 10.4 bezeichnen wir
lim ←−
P J := P.
J ⊂⊂ I
10.6 Satz (Kolmogoroff)
Sei (P J ) J⊂⊂I eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen P J auf (Ω J , A J ) und (K i ) i∈I
eine Familie kompakter Systeme K i ⊆ A i (i ∈ I), so dass jedes P i von innen K i -regulär ist. Dann
existiert der projektive Limes
P = lim ←−
P J .
J ⊂⊂ I
Beweis:
1. Sei
H := { π −1 ( ∏ ) }
J
A j : J ⊂⊂ I, Aj ∈ A j .
j∈J
Nach 7.3.2 ist H ein Halbring und nach 9.5 erzeugt H die Produkt-σ-Algebra A I . Definiere
⎧
⎨H → [0; 1]
µ :
⎩π −1 ( ∏ ) [ ∏ ]
J
A j ↦→ P J A j .
j∈J
Beh: µ ist ein wohldefinierter Inhalt auf H
j∈J
Denn: Seien J 1 , J 2 ⊂⊂ I und J ′ := J 1 ∪J 2 . Weiter seien A 1 j ∈ A j (j ∈ J 1 ) und A 2 j ∈ A j (j ∈ J 2 ).
Ist dann
π −1 ( ∏ ) (
J 1
A 1 j = π
−1
∏ )
J 2
A 2 j ,
j∈J 1 j∈J 2
so gilt
(π J ′
J 1
) −1( ∏
und damit
P J1
[ ∏
j∈J 1
A 1 j
j∈J 1
A 1 j
) (
= πJ ′(
π
−1
∏ )) (
J 1
A 1 j = πJ ′(
π
−1
∏ ))
J 2
A 2 j = (π
J ′
J 2
) −1( ∏ )
A 2 j ∈ H
j∈J 1 j∈J 2 j∈J 2
]
= π
J ′
J 1
(P J ′) [ ∏
j∈J 1
A 1 j
]
= PJ ′[
(π
J ′
J 1
) −1( ∏
j∈J 1
A 1 j
[
= P J ′ (π
J ′
J 2
) −1( ∏ )]
A 2 j = π
J ′
J 2
(P J ′) [ ∏
j∈J 2
j∈J 2
A 2 j
)]
]
= PJ2
[ ∏
j∈J 2
A 2 j
]