Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

46 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE Denn es gibt ein α ∈ C mit |α| = 1, so dass α ∫ fdm ∈ R + und damit ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∣ ∣ fdm∣ = ∣α fdm∣ = α fdm = αfdm = Rαfdm ≤ ∫ ∫ ∫ ≤ |αf|dm = |α| |f|dm = |f|dm. |Rαf|dm 5.12 Beispiele 1. Sei I eine Indexmenge, I ≠ ∅ und m := ∑ i∈I ɛ i das Zählmaß auf P(I) wie in 2.7.2. Damit ist ∅ die einzige m-Nullmenge, d.h. N = {∅}. Damit ist L p C (m) ∼ = L p C (m) =: lp C (I). Da L0 (I, P(I), C) = C I , gilt für jede Folge X = (x i ) i∈I i ∈ I N : ( ∑ ||X|| p = |x i | p) 1 p . Damit ist l p C (I) die Menge der p-fach absolut summierbaren Funktionen Für p = ∞ ist i∈I ||x|| ∞ = sup |x i |. i∈I Der Raum lC ∞ (I) ist also der Raum der beschränkten Folgen in C. Spezialfälle sind: • Für I = N ist l p C (N) der Raum der über N absolut summierbaren Folgen. • Für I = N und p = 2 ist lC 2 (N) der Hilbert’sche Folgenraum. • Für I = {1, . . . , n} ist l p C (I) ∼ = C n und ( ∑ n ||x|| p = |x| p) 1 p (p ∈ (1; ∞)) bzw. ||x||∞ = sup |x i |. 1≤i≤n i=1 • Für I = {1, . . . , n} und p = 2 ist ||.|| 2 die euklidische Norm auf C n . 2. Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X ∈ L 2 (P) eine quadratisch integrierbare Zufallsvariable. Dann definieren wir Var[X] := ∫ (X − E[X] ) 2dP. Nach 4.20.1 ist dabei Œ X reellwertig. Da X ∈ L 2 (P) ⊆ L 1 (P) nach 5.5, ist mit α := E[X] ∈ R und damit X 2 , X, α ∈ L 1 (P). Damit ist aber (X − α) 2 = X 2 − 2αx + α 2 ∈ L 2 (P), d.h. Var[X] < ∞. Es gilt ∫ Var[X] = ∫ X 2 dP − 2α ∫ ∫ ∫ XdP + α 2 1dP = X 2 − (E(X)) 2 dP = X 2 dP − (E[X]) 2 . } {{ } =1 Allgemein definiert man für k ∈ N und X ∈ L k (P) das k-te Moment ∫ E[X k ] = X k dP. Schließlich definiert man noch σ[X] := √ Var[X], die Standardabweichung oder Streuung von X.
5. L P -RÄUME 47 5.13 Korollar Sei X ∈ L 2 (P) Dann gilt V (X) = 0 ⇔ X = E[X] fast sicher. Beweis: Sei Y := (X − E[X]) 2 . Dann ist ||Y || 1 X = E[X] fast sicher. = 0, d.h. Y = 0 fast sicher. Das heißt aber ✷
Seite 1: Friedrich-Alexander-Universität Er
Seite 4 und 5: iv INHALTSVERZEICHNIS
Seite 6 und 7: vi LITERATURVERZEICHNIS
Seite 8 und 9: 2 KAPITEL 0. EINFÜHRUNG 2. Die Bin
Seite 10 und 11: 4 KAPITEL 0. EINFÜHRUNG
Seite 12 und 13: 6 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE Da
Seite 14 und 15: 8 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE Is
Seite 16 und 17: 10 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE B
Seite 18 und 19: 12 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE 2
Seite 20 und 21: 14 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE D
Seite 44 und 45: 38 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Seite 62 und 63: 56 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE E
Seite 68 und 69: 62 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASS
Seite 102 und 103:
96 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASS
Seite 104 und 105:
98 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASS
Seite 106 und 107:
100 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MAS
Seite 108 und 109:
Seite 110 und 111:
Seite 112 und 113:
Seite 114 und 115:
Seite 116 und 117:
110 KAPITEL 3. GESETZE DER GROSSEN
Seite 118 und 119:
Seite 120 und 121:
Seite 122 und 123:
Seite 124 und 125:
Seite 126 und 127:
Seite 128 und 129:
122 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN 3.
Seite 130 und 131:
124 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN 14
Seite 132 und 133:
Seite 134 und 135:
Seite 136 und 137:
130 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN Da
Seite 138 und 139:
Seite 140 und 141:
Seite 142 und 143:
136 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN We
Seite 144 und 145:
138 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN Da
Seite 146 und 147:
140 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN De
Seite 148 und 149:
Seite 150 und 151:
144 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN Di
Seite 152 und 153:
Seite 154 und 155:
Seite 156 und 157:
150 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZES
Seite 158 und 159:
Seite 160 und 161:
Seite 162 und 163:
Seite 164 und 165:
Seite 166 und 167:
Seite 168 und 169:
Seite 170 und 171:
Seite 172 und 173:
Seite 174 und 175:
Seite 176 und 177:
Seite 178 und 179:
Seite 180 und 181:
Seite 182 und 183:
Seite 184 und 185:
Seite 186 und 187:
Seite 188 und 189:
Seite 190 und 191:
Seite 192 und 193:
186 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE als
Seite 194 und 195:
188 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE Dan
Seite 196 und 197:
190 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE 22.
Seite 198 und 199:
192 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE Bew
Seite 200 und 201:
Seite 202 und 203:
Seite 204 und 205:
198 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE 23
Seite 206 und 207:
200 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE Der
Seite 208 und 209:
Seite 210 und 211:
Seite 212 und 213:
Seite 214 und 215:
Seite 216 und 217:
210 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE Bew
Seite 218 und 219:
Seite 220 und 221:
214 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE Def
Seite 222 und 223:
Seite 224 und 225:
Seite 226 und 227:
Seite 228 und 229:
222 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE auf
Seite 230 und 231:
Seite 232 und 233:
226 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE rec
Seite 234 und 235:
228 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE 27
Seite 236 und 237:
230 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE Fü
Seite 238 und 239:
Seite 240 und 241:
Seite 242 und 243:
Mengen G(Ω) die Menge der offenen
Seite 244 und 245:
µ n vage −−→ µ vage Konverg
Seite 246 und 247:
[ ] 1 g µ,σ 2(x) = √ exp (x −
Alle anzeigen

Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?