Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Kapitel 0
Einführung
0 Vorbemerkungen
Erst um 1930 begründet Kolmogoroff die Wahrscheinlichkeitstheorie axiomatisch. Dabei schuf er
die Grundlagen dafür, auch auf nichtdiskreten Räumen Wahrscheinlichkeitstheorie zu betreiben.
0.1 Diskrete Stochastik
Die diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigt sich mit dem Studium zufälliger Experimente
mit höchstens abzählbar vielen stochastisch relevanten Experimentsausgängen ω ∈ Ω. D.h., es gibt
höchstens abzählbar viele Ausgänge mit diskreten positiven Wahrscheinlichkeiten. Die zugehörige
Abbildung, die den Ausgängen Wahrscheinlichkeiten zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsmaß. Sie
hat im diskreten Fall folgende Eigenschaften:
1. P[Ω] = 1 (Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses),
2. P[A] = ∑ ω∈A
P[ω] (A ⊆ Ω).
Die Wahrscheinlichkeit von A ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zu A gehörigen Elementarereignisse.
Mit
{
1, ω ∈ A
ɛ ω : A ↦→
0, ω ∉ A und α ω := P[ω]
ist P = ∑ ω∈Ω
α ω ɛ ω . Umgekehrt ist für α ω ∈ [0; 1] mit ∑ ω∈Ω
α ω = 1 durch
A ↦→ ∑ ω∈Ω
α ω = ∑ ω∈Ω
α ω ɛ ω [A]
stets ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben.
0.2 Beispiele
1. Die hypergeometrische Verteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß) auf Ω = {0, . . . , S} und hat
Parameter n, N ∈ N mit n ≤ N. Sie ist definiert durch
( S N−S
)
α s :=
s)(
n−s
( N
(s ∈ Ω).
n)
Man kann α s interpretieren als die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen von n
Kugeln aus einer Urne mit N Kugeln, von denen S schwarze und N − S weiße sind, genau s
schwarze zu ziehen.
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