Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

116 KAPITEL 3. GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN
13 Starkes und schwaches Gesetz der großen Zahlen
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
13.1 Definitionen
Eine Familie (X i ) i∈I von Zufallsvariablen heißt identisch verteilt, wenn
VertX i = VertX j
(i, j ∈ I).
Man beachte den Unterschied der beiden Begriffe identisch verteilt und gleichverteilt
Eine Folge (X n ) n∈N reeller, integrierbarer Zufallsvariablen genügt dem starken Gesetz der großen
Zahlen, wenn
[
P
lim
n→∞
d.h. wenn die Folge der Zufallsvariablen ( 1 n
1
n
n∑
]
(X i − E[X i ]) = 0 = 1,
i=1
n∑
(X i −E(X i ))) n∈N P-fast sicher gegen 0 konvergiert.
i=1
Eine Folge (X n ) n∈N reeller, integrierbarer Zufallsvariablen genügt dem schwachen Gesetz der
großen Zahlen, wenn
[ n∑
]
lim P 1
n→∞ n
(X i − E[X i ]) > ɛ = 0 (ɛ > 0),
i=1
d.h. wenn die Folge der Zufallsvariablen ( 1 n
n∑
(X i − E[X i ])) n∈N stochastisch gegen 0 konvergiert.
13.2 Hauptsatz (Kolmogoroff) (nach R. Zweimüller 97/98)
i=1
Jede unabhängige Folge (X n ) n∈N reeller, integrierbarer, identisch-verteilter Zufallsvariablen
n∑
genügt dem starken Gesetz der großen Zahlen, d.h. für S n := X i gilt
P [ 1
lim
n→∞ n S n = E[X 1 ] ] = 1.
i=1
Beweis: Nach Transformationssatz ist
∫
∫
E[X n ] = xP Xn [dx] =
xP X1 [dx] = E[X 1 ],
also E[S n ] = n · E[X 1 ]. Deshalb ist das starke Gesetz der großen Zahl in diesem Fall äquivalent
zur Behauptung.
1. Beh.: Es genügt, den Fall X n ≥ 0 zu betrachten.
Denn: mit
Y : x ↦→ sup(x, 0),
Z : x ↦→ −x
gilt für die Zufallsfariablen X − n
und X + n
X + n = Y ◦ X n , X − n = Y ◦ Z ◦ X n .
Damit sind (X + n ), (X − n ) nach 12.5 unabhängige Zufallsvariablen. Wegen
P X
+
n
= Y (P Xn ), P X
−
n
= (Y ◦ Z)(P Xn )
sind sie identisch verteilt. Hat man also den Satz für X n ≥ 0 gezeigt, so lässt sich die allgemeine
Fassung beweisen, indem man X − n und X + n getrennt betrachtet.