Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

8. BILDMASSE 79
die Translation um a. Dann ist T a (λ 1 ) = λ 1 , d.h. das Lebesgue-Borel’sche Maß λ 1 ist translationsinvariant.
Denn: Ta
−1 = T −a und damit
T a (λ 1 )[[α; β]] = λ 1 [Ta
−1 ([α; β])] = λ 1 [[α − a; β − a]] = λ 1 [[α; β]].
Mit dem Eindeutigkeitssatz 7.19 folgt: T a (λ 1 ) = λ 1 .
3. Wie in 2. zeigt man, dass λ 1 spiegelungsinvariant ist, d.h. T (λ 1 ) = λ 1 für
{
R → R
T :
x ↦→ −x.
4. Man kann zeigen:
Genau die Maße αλ 1 mit α ∈ R + sind translationsinvariant auf B(R). Entsprechendes gilt für
höhere Dimensionen. Hier erhält man sogenannte Haar-Maße.
8.4 Transformationssatz
Für f ∈ L 0 +(Ω ′ , A ′ ) gilt
∫
∫
fdX(m) =
f ◦ Xdm.
Insbesondere ist f : Ω ′ → R genau dann X(m)-integrierbar, wenn f ◦ X m-integrierbar ist.
Dann gilt die Transformationsformel.
Beweis: Folgendes Diagramm verdeutlicht die Situation:
X
✲
Ω
❅
❅ f◦X ❅❅❘
Ω ′
f
❄
R +
Die Abbildung
⎧
⎨
ν :
⎩f
L + 0
(Ω, A) → [0;
∫
∞]
↦→ f ◦ Xdm
ist ein Daniell-Integral auf B 0 +(Ω ′ , A ′ ) mit
∫
∫
ν[1 A ′] = 1 A ′ ◦ Xdm = 1 X −1 (A ′ )dm = m[X −1 (A ′ )] = X(m)[A ′ ].
Aus dem Beweisprinzip 4.12 folgt die Behauptung.
✷