Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

72 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
3. Nach 2. ist R \ Q polnisch, denn
R \ Q = ⋂ x∈Q
R \ {x}.
4. Sei Ω lokal kompakt mit abzählbarer Basis. Dann ist Ω polnisch.
5. Abzählbare Produkte polnischer Räume sind polnisch (vgl. [Qu]).
7.25 Hauptsatz
Jedes Borelmaß m auf einem polnischen Raum Ω ist ein σ-endliches Radon-Maß.
Beweis: Sei (G n ) n∈N eine abzählbare Basis von G(Ω), F(Ω) die Menge aller abgeschlossenen
Teilmengen von Ω und K(Ω) die Menge aller kompakten Teilmengen von Ω. Sei weiter d eine
vollständige Metrik von Ω und A := {ω n : n ∈ N} eine abzählbare dichte Teilmenge in Ω.
Zu zeigen ist nur die innere K(Ω)-Regularität von m.
Beh: Es genügt, den Fall m[Ω] < ∞ zu betrachten
Denn: für ω ∈ Ω gibt es ein U ω ∈ G(Ω) mit ω ∈ U ω und m[U ω ] < ∞, da m lokal endlich ist.
Definiere
U := {G n : ∃ω ∈ Ω, G n ⊆ U ω }.
Dann gibt es für ω ∈ Ω ein U ∈ U mit ω ∈ U, da U ω = ⋃
G n mit einer geeigneten Indexmenge
n∈I ω
I ω . Damit ist
Ω = ⋃
U und m[U] < ∞ (U ∈ U).
U∈U
n⋃
Ist U = {U n : n ∈ N} und V n := U i ∈ G(Ω), so ist V n ↑ Ω mit m[V n ] < ∞ und m = sup m Vn
i=1
n∈N
nach 2.7. Deshalb genügt es, die Behauptung für alle m Vn nachzuweisen.
Sei also Œ m[Ω] < ∞. Definiere
D :=
{
A ∈ B(Ω) :=
Beh: D ist ein Dynkin-System mit F(Ω) ⊆ D.
1. Ω ∈ D ist klar.
sup m[K] = m[A] =
K∈K(Ω)
K⊆A
2. Beh.: Für ɛ > 0 gibt es ein K ∈ K(Ω) mit m[K] ≥ m[Ω] − ɛ.
Denn: Sei r > 0, ω 0 ∈ Ω und
also Ω =
K r (ω 0 ) := {ω ∈ Ω : d(ω, ω 0 ) ≤ r},
}
inf
U∈G(Ω)
U⊇A
m[U] .
∞⋃
K r (ω n ). Wegen der Stetigkeit von m von unten ist damit
n=1
( ⋃ k )
m[Ω] = sup m K r (ω i ) .
k∈N
i=1
Damit gibt es für ɛ > 0 und n ∈ N ein k n ∈ N mit
[ ⋃k n
m
i=1
K 1
n (ω i)
]
≥ m[Ω] − ɛ
2 n .