Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

168 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
.
Mit der Translation τ x : y ↦→ y + x in R d gilt P t [x, .] = τ x (µ t ), also
µ
n⊗
i=1
P ti−t i−1
[B] 9.17
=
∫
=
∫
∫
µ[dx 0 ]
∫
µ[dx 0 ]
∫
P t1−t 0
[x 0 , dx 1 ] . . .
∫
P t1−t 0
[x 0 , dx 1 ] . . .
µ[dy 0 ]µ t1−t 0
[dy 1 ] . . . µ tn−t n−1
[dy n ]
P tn−t n−1
[x n−1 , dx n ]1 B (x 0 , . . . , x n )
P tn−1 −t n−2
[x n−2 , dx n−1 ]
∫
µ tn−t n−1
[dy n ]1 B
(
x0 , . . . , x n−1 , τ xn−1 (y n ) )
∫
=
∫
µ[dx 0 ]
∫
P t1−t 0
[x 0 , dx 1 ] . . .
µ tn−1 −t n−2
[dy n−1 ]
∫
µ tn−t n−1
[dy n ]1 B
(
x0 , τ x0 (y 1 ), . . . , τ xn−2 (y n−1 ), τ xn−1 (y n ) )
∫
= . . . =
∫
µ[dx 0 ]
∫
µ t1−t 0
[dy 0 ] . . .
µ tn−t n−1
[dy n ]
1 B (y 0 , y 0 + y 1 , . . . , y 0 + . . . + y n ).
✷
19.4 Hauptsatz
1. Sei (X t ) t∈I der kanonische Prozess, der sich aus einer normalen, stationären, translationsinvarianten
Markoff’schen Schar (P s,t ) s≤t , d.h. aus einer Faltungshalbgruppe (µ
s,t∈I
t ) t∈I mit
µ 0 = ɛ 0 und einer Startwahrscheinlichkeit µ auf R d ableitet. Dann hat (X t ) t∈I bzgl. des
Markoff’schen Maßes P µ stationäre und unabhängige Zuwächse, nämlich
und P µ X 0
= µ.
P µ X t−X s
= µ t−s (s, t ∈ I, s ≤ t)
2. Ist umgekehrt (X t ) t∈I ein stochastischer Prozess auf Wahrscheinlichkeitsräumen (Ω, A, P)
mit R d als Zustandsraum, der stationäre und unabhängige Zuwächse hat, so wird durch
µ t := P Xt−X 0
(t ∈ I)
eine Faltungshalbgruppe von Wahrscheinlichkeitsmaßes µ t auf R d mit µ 0 = ɛ 0 definiert. Die
gemeinsame Verteilung des Prozesses ist das aus (µ t ) t∈I und der Startverteilung µ := P X0
konstruierte Markoff-Maß P µ .
Beweis: Es gilt
µ 0 = ɛ 0 ⇐⇒ P t,t [x, .] = ɛ 0 (. − x) = ɛ x = 1[x, .] (t ∈ I, x ∈ R d ) ⇐⇒ P t,t = 1 (t ∈ I).