Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

20. DIE BROWN’SCHE BEWEGUNG 175
20.11 Satz
1. Sei A =
⎛
⎞
⎜
⎝a ⊤ ⎟
1. ⎠ ∈ GL(d, R), d.h. det A ≠ 0. Sei
a ⊤ d
C := AA ⊤ = ( 〈a i , a j 〉 ) i,j=1...,d , b ∈ Rd und T : x ↦→ Ax + b.
Dann hat die nichtausgeartete Normalverteilung T (N d ) die λ d -Dichte
g(x) = (2π) − d 2 (det C) − 1 (
)
2 exp − 1 2 (x − b)⊤ C −1 (x − b)
und T (N) hat den Erwartungsvektor
sowie die Kovarianzmatrix
d.h.
V[T ] := ( Cov[T i , T j ] ) i,j=1,...,d = C,
E[T ] := ( E[T 1 ], . . . , E[T d ] ) = b
Cov[T i , T j ] = 〈a i , a j 〉
(i, j = 1, . . . , d).
Die Matrix C ist symmetrisch, positiv definit und T (N d ) ist durch C und b eindeutig bestimmt,
bezeichnet mit N(b, C).
2. Sei C eine positiv definite, symmetrische Matrix und b ∈ R. Dann gibt es genau ein Gaußmaß
N, so dass N = N(b, C). Dies ist nichtausgeartet.
Beweis:
1. Es gilt für B ∈ B(R d )
T (N)[B] = N[T −1 (B)] = (2π) − d 2
∫
x=A −1 (y−b)
= (2π) − d 2
∫
= (2π) − d 2
∫
(
1 T −1 (B)(y) exp
)
− y⊤ y
2
dy
(
1 B (x)(det A) −1 exp − 1 2 (x − b)⊤ (A ⊤ ) −1 A −1 (x − b)
1 B (x)(det C) − 1 (
)
2 exp − 1 2 (x − b)⊤ C −1 (x − b) dx.
)
dx
Mit dieser Dichte gilt
E[T i ] = (2π) − d 2
∫
(
x i exp
∫
y=A −1 (x−b)
= (2π) − d 2
=
)
− 1 2 (x − b)⊤ (AA ⊤ ) −1 (x − b) dx
(
(a ⊤ i y + b i ) exp
d∑
∫
a ij yg 0,1 (y)λ d [dy] + b i = b i
i=1
)
− y⊤ y
2
dy