Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

3. MESSBARE ABBILDUNGEN UND FUNKTIONEN 25
1. und 3. folgen sofort aus 3.18.
2. Ist t A-messbar mit t(Ω) = {α 1 , . . . , α n } ⊆ R. Dann ist mit A i = t −1 (α i ) ∈ A (i = 1, . . . , n) und
4. folgt aus 3.13, 3.14.
3.20 Hauptsatz
t =
n∑
α i 1 Ai ∈ T (Ω, A).
i=1
Zu jeder A-messbaren Funktion f ≥ 0 gibt es eine isotone Folge (t n ) n∈N ∈ (T + (Ω, A)) N , die
punktweise gegen f konvergiert, t n ↑ f.
Ist f außerdem noch beschränkt, so konvergiert (t n ) n∈N gleichmäßig.
✷
Beweis: Sei zunächst f beschränkt mit sup f(ω) =: M < ∞. Definiere dann
ω∈Ω
t n := M
2 n ∑
i=1
1
2 n 1 {f>M i
2 n }.
Dann konvergiert t n gleichmäßig gegen f nach Definition der t n .
.
.
.
Für allgemeines f betrachten wir g n := inf(f, n). Damit gilt g n ↑ f. Da g n beschränkt ist, gilt
g n ∈ (T + (Ω, A)) σ wie gerade gezeigt. Damit ist f ∈ ((T + (Ω, A)) σ ) σ = (T + (Ω, A)) σ nach 3.16.4.