Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

216 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
25.6 Bemerkung
In 25.4 kann man i.A. das Submartingal nicht auf I fortsetzen, auch dann nicht, wenn X t ein
Martingal ist (vgl. [BW], p. 164).
25.7 Hauptsatz
Sei I = Z + oder I = R + und (X t ) t∈I ein an (F t ) t∈I adaptierter stochastischer Prozess.
1. Ist (X t , F t ) t∈I ein Submartingal und gleichgradig integrierbar, so ist (X t ) t∈I L 1 (Ω, A, P)-
beschränkt und konvergiert fast sicher und im Mittel gegen eine F ∞ -messbare integrierbare
Zufallsvariable X ∞ .
2. Ist (X t , F t ) t∈I ein Submartingal bzw. ein Martingal und konvergiert (X t ) t∈I im Mittel gegen
eine integrierbare Zufallsvariable X ∞ , so kann man X ∞ F ∞ -messbar wählen und dann ist
(X t , F t ) t∈I
ein Submartingal bzw. Martingal.
3. Ist (X t , F t ) t∈I
ein Martingal bzw. ein nach unten beschränktes Submartingal, so ist (X t ) t∈I
gleichgradig integrierbar.
Beweis:
1. Nach 6.22 ist (X t ) t∈I L 1 (Ω, A, P)-beschränkt, also nach 25.4 fast sicher konvergent gegen X ∞ ∈
L 1 (Ω, F ∞ , P). Für alle Folgen (t n ) n∈N ∈ I N mit lim t n = ∞ gilt X ∞ = lim X t n
fast sicher.
n→∞ n→∞
Gemäß 6.25 folgt aus der gleichgradigen Integrierbarkeit der Teilfolge (X tn ) n∈N die Konvergenz
im Mittel, d.h.
∫
lim |X ∞ − X t |dP = 0.
t→∞
2. Für Folgen (t n ) n∈N in I mit lim t n = ∞ konvergiert X tn → X ∞ in L 1 (Ω, A, P). Gemäß 6.12.3
t→∞
konvergiert eine geeignete Teilfolge fast sicher gegen X ∞ , also ist X ∞ F ∞ -messbar wählbar.
Für t ∈ I gilt
∫
∫
∫
lim ∣ X ∞ dP − X s dP∣ ≤ lim |X ∞ − X s |dP = 0 (A ∈ F t ).
s→∞
A
A
s→∞
A
Im Falle eines Martingals folgt daraus
∫
∫
X t dP = s→∞
lim
A
s≥t
und im Falle eines Submartingals
∫
∫
X t dP ≤ s→∞
lim
A
s≥t
A
A
∫
X s dP =
∫
X s dP =
A
A
X ∞ dP (A ∈ F t )
X ∞ dP (A ∈ F t ).
3. Sei (X t ) t∈I
ein Martingal. Mit 23.12 ist (|X t |, F t ) t∈I ein Submartingal. Damit genügt es, die
Behauptung für nach unten beschränkte Submartingale zu zeigen.
Sei zunächst (X t ) t∈I
ein Submartingal mit X t ≥ 0
∫
∫
|X t |dP ≤
Nun genügt es zu zeigen:
Beh: lim P[X t ≥ α] = 0.
sup
α→∞
t∈I
{X t≥α}
(t ∈ I). Da {X t ≥ α} ∈ F t ist, gilt
{|X t|≥α}
X ∞ dP.