Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 69
7.12 Bemerkung
Nach einem Resultat von Carathéodory gilt der Satz auch ohne die Voraussetzung, daß m semiendlich
ist.
7.13 Definition
Ein System D ⊆ P(Ω) heißt Dynkin-System in Ω, wenn
1. Ω ∈ D,
2. A ∈ Ω ⇒ CA ∈ D,
3. sind A n ∈ D paarweise fremd, so ist
7.14 Bemerkung
∞⊎
A n ∈ D.
n=1
Aus den Definitionen von σ-Algebren und Dynkin-Systemen folgt, dass jede σ-Algebra ein Dynkin-
System ist. Die Umkehrung hiervon gilt allerdings nicht:
Sei Ω = {1, . . . , 2n} für ein n ∈ N und
D := {A ⊆ Ω : |A| ∈ 2N 0 }.
Dann ist D ein Dynkin-System, aber für n > 1 nicht ∩-stabil, also keine σ-Algebra.
7.15 Lemma
Sei D ein Dynking-System. Dann ist D stabil unter eigentlichen Differenzen, d.h.
A, B ⊆ D, A ⊆ B ⇒ B \ A ∈ D.
Beweis: Es gilt B \ A = B ∩ CA = C (CB ⊎ A) ∈ D.
✷
7.16 Satz
Sei D ein Dynkin-System. Dann ist D genau dann eine σ-Algebra, wenn es ∩-stabil ist.
Beweis: Sei D ein ∩-stabiles Dynkin-System. Dann ist D auch ∪-stabil, denn für A, B, ∈ D gilt
A ∪ B = A ⊎ (B \ (A ∩ B)) ∈ D.
Sei nun noch A n ∈ D (n ∈ N), B 0 := ∅ und B n := A 1 ∪ . . . ∪ A n ∈ D. Dann ist
∞⋃ ∞⋃ ∞⊎
A n = B n = B n \ B n−1 ∈ D.
n=1 n=1 n=1
✷
7.17 Bemerkung
Zu jedem Mengensystem E ⊆ P(Ω) existiert ein kleinstes, E enthaltendes Dynkin-System
δ(E) := δ Ω (E) := ⋂ {D : D Dynkin-System, E ⊆ D}.