Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

4. DAS INTEGRAL 39
4.19 Bemerkungen
1. Jede Nullmenge ist integrierbar.
2. Wegen der σ-Additivität von m ist die Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen eine Nullmenge.
3. Beh.: Eine Eigenschaft E gilt genau dann fast überall, wenn für A := {ω ∈ Ω : ¬E(ω)}
∫ ∗
1 A dm = 0
gilt. Dabei ist i.A. A /∈ A.
Denn:
“⇒”: Es gibt ein N ∈ A mit m[N] = 0 und A ⊆ N. Damit ist aber
0 ≤
∫ ∗
1 A dm ≤ m[N] = 0.
“⇐”: Sei
∫ ∗
1 A dm = 0. Dann ist
0 = µ σ ∗ [A] = inf
t∈Eσ
t≥1 A
µ σ [A].
Also gibt es eine absteigende Folge
(t n ) n∈N ∈ ((E σ (Ω, A, m)) + ) N = ((T + (Ω)) σ ) N = (L 0 +(Ω, A)) N
mit t n ↓ t ∈ L 0 +(Ω, A), t n ≥ 1 A und µ σ (t n ) ≤ 1 n
. Definiere N := {t ≥ 1} ∈ A. Dann ist
1 N ≤ t ≤ t n (n ∈ N), also
∫
m[N] =
1 N dm = µ σ (1 N ) ≤ µ σ (t n ) ≤ 1 n
(n ∈ N).
Damit ist m[N] = 0, t ≥ 1 A und N = {t ≥ 1} ⊇ A.
✷