Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

220 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
25.13 Hauptsatz (Doob’scher Konvergenzsatz für inverse Submartingale)
Sei I = Z + . und (X t , F t ) t∈I ein rechtsseitig stetiges Submartingal. Dann konvergiert (X t ) t∈I
genau dann fast sicher und im Mittel gegen eine integrierbare F −∞ -messbare Zufallsvariable
X −∞ , wenn
inf
t∈I E[X t] > −∞.
Dann ist auch (X t , F t ) t∈I
ein Submartingal.
Beweis:
“⇒”: Aus X t → X −∞ im Mittel folgt
inf E[X t] 23.6.2
= lim E[X t] = E[X −∞ ] > −∞.
t∈I t→−∞
“⇐”: Aus 25.11, 25.12 und 6.25 folgt, dass es eine F −∞ -messbare Zufallsvariable X −∞
L 1 (Ω, A, P) gibt mit
X −∞ = lim X t
t→−∞
fast sicher und im Mittel.
∈
Wie im Beweisschritt 2. von 25.7 folgt nun, dass für t ∈ I
∫
∫ ∫
X −∞ dP = X s dP ≤ X t dP (A ∈ F t )
A
lim
s≤t
s→−∞
A
A
Damit ist (X t , F t ) t∈I
ein Submartingal.
✷
25.14 Korollar
Sei I = Z − . Dann konvergiert jedes rechtsseitig stetige Martingal (X t , F t ) t∈I fast sicher und im
Mittel gegen eine integrierbare Zufallsvariable X −∞ , so dass (X t , F t ) t∈I
ein Martingal ist.
Beweis: Die Konvergenz folgt direkt aus 25.13. Außerdem ist
∫
∫ ∫
X −∞ dP = X s dP = X t dP (A ∈ F t )
A
lim
s≤t
s→−∞
A
A
und damit (X t , F t ) t∈I
ein Martingal.
✷
25.15 Anwendungen
1. Kolmogoroff’sches Kriterium (13.5):
Beh: Sei X n eine unabhängige Folge quadratisch inegrierbarer reeller Zufallsvariablen mit
∞∑
n=1
1
n 2 Var[X n] < ∞.
Dann gilt für (X n ) das starke Gesetz der großen Zahlen.
Beweis: Œ ist E[X n ] = 0 (n ∈ N). Nach 23.9 ist
(S n ) n∈N := ( n ∑
i=1
1
i X i
)
n∈N