Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

142 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
15.16 Bemerkung
Man kann z.B. mittels Fouriertransformation zeigen, dass 15.15 auch für f = 1 (−∞;0] gilt. Wegen
folgt dann
−x + y ∈ (−∞; 0] ⇔ y ≤ x ⇔ y ∈ (−∞; x]
ρ n := sup |F n (x) − Φ(x)| = O ( )
√n 1
x∈R
für die Verteilungsfunktion F n von P S ∗ n
und Φ von N 0,1 .
Ein noch allgemeineres Resultat findet man in [GS], p. 171, 165:
Sei (X n ) n∈N eine unabhängige Folge reeller Zufallsvariablen mit 0 < Var[X n ] < ∞ (n ∈ N) Dann
gilt:
1. Es gibt ein ɛ > 0, so dass für alle n ∈ N und δ > 0 mit L n (δ) ≤ δ 3
gilt.
2. Ist E[|X n | 3 ] < ∞, so ist
ρ n ≤ 6
s 3 n
Sind die (X n ) n∈N identisch verteilt, folgt
ρ n ≤ ɛδ
n∑
E [ |X i − E[X i ]| 3] .
i=1
ρ n ≤ 6 √ nσ 3
1
E [ |X 1 − E[X 1 ]| 3] .