Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

58 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
4. Seien (f i ) i∈I , (g j ) j∈J ∈ L p (m), so dass (|f i | p ) i∈I und (|g j | p ) j∈J gleichgradig integrierbar sind.
Beh: Dann sind auch (|αf i + βg j | p ) i∈I,j∈J (α, β ∈ [1; −1]) gleichgradig integrierbar.
Denn: Mit 6.22 gibt es ein M > 0 mit
∫
∫
sup
i∈I
Damit gilt für i ∈ I, j ∈ J, α, β ∈ [−1; 1]
|f i | p dm < M, sup
j∈J
|g j | p dm ≤ M.
N p (αf i + βg j ) ≤ N p (f i ) + N p (g j ) ≤ 2M 1 p ,
also
∫
|αf i + βg j | p dm ≤ 2 p M < ∞.
Nach Voraussetzung aus 6.22 gilt
∫
∫
∀ɛ > 0 ∃δ > 0 ∀A ∈ A mit m[A] ≤ δ ⇒ |f i | p dm ≤ ɛ, |g j | p dm ≤ ɛ (i ∈ I, j ∈ J).
Deswegen ist auch
∫
|αf i + βg j | p dm = (N p (αf i 1 A + βg j 1 A )) p ≤ (N p (f i 1 A ) + N p (g j 1 A )) p ≤ (2ɛ 1/p ) p = 2 p ɛ.
A
5. Beh.: Konvergiert (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N im p-ten Mittel, so ist (|f n |) n∈N gleichgradig integrierbar.
A
Beweis: Nach 6.11 gibt es ein f ∈ L p (m) mit lim
n→∞ N p(f − f n ) = 0. Dann gilt
∀ɛ > 0 ∃n 0 ∈ N : N p (f − f n ) ≤ ɛ (n ≥ n 0 ).
Nach 2. und 4. genügt der Nachweis, dass (|f n | p ) n≥n0 gleichgradig integrierbar ist. Aber für
n ≥ n 0 ist
N p (f n ) ≤ N p (f n − f) + N p (f) ≤ ɛ + N p (f),
also
∫
sup
n≥n 0
|f i | p dm ≤ [ɛ + N p (f)] p < ∞.
Unter Verwendung von 6.22 wählen wir zu ɛ > 0 ein δ > 0, so dass die Bedingung aus 6.22 für
f p erfüllt ist. Für n ≥ n 0 und A ∈ A mit m[A] ≤ δ gilt dann
N p (f n 1 A ) ≤ N p (f n 1 A − f1 A ) + N p (f1 A ) ≤ N p (f n − f) + N p (f1 A ) ≤ ɛ + ɛ 1/p .
Damit ist
∫
sup |f n | p dm ≤ (ɛ + ɛ 1/p ) p .
n∈N A
6.24 Hauptsatz
Eine Folge (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N konvergiert genau dann im p-ten Mittel gegen eine Funktion
f ∈ L p (m), wenn die Folge (f n ) n∈N stochastisch gegen f konvergiert und (f n ) n∈N gleichgradig
integrierbar ist
Beweis:
“ ⇒ ”: Folgt aus 6.16.2 und 6.23.5.