Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

10. UNABHÄNGIGKEIT 97
10.11 Hauptsatz
Eine Familie von Zufallsvariablen X i : (Ω, A) → (Ω i , A i ) ist genau dann unabhängig, wenn die
gemeinsame Verteilung, d.h. die Verteilung der Produkt-Zufallsvariable
X I : (Ω, A) → ( Ω I , A I
)
das Produktmaß der Verteilungen der X i ist, d.h. wenn
Vert ⊗ i∈I
X i = ⊗ i∈I
VertX i = ⊗ i∈I
X i (P).
Beweis: Folgt direkt aus der Definition der Unabhängigkeit.
✷
10.12 Beispiel
Sei (Ω i , A i , P i ) i∈I eine Familie von Wahrscheinlichkeitsräumen,
Ω I := ∏ Ω i , A I := ⊗ A i , P := ⊗ P i .
i∈I
i∈I
i∈I
Weiter sei X i := π i die i-te Projektion und damit ⊗ X i = id Ω . Dann ist
i∈I
Vert ⊗ X i = P = ⊗ P i = ⊗ π i (P) = ⊗ VertX i .
i∈I
i∈I i∈I
i∈I
Damit sind die (X i ) i∈I ein kanonisches Modell für eine unabhängige Familie (X i ) i∈I von Zufallsgrößen
mit VertX i = P i (i ∈ I).
Ein Beispiel hierfür ist eine Bernoulli’sche Beobachtungsfolge, also z.B. ein abzählbar oft ausgeführter
Münzwurf mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0 < p < 1. Hier ist speziell (Ω i , A i , P i ) =
({0, 1}, P(Ω i ), B(1, p)) und
10.13 Satz
Ω = {0, 1} N , A = B(Ω) 9.6
= ⊗ i∈N
B(Ω i ), P =
Seien X 1 , . . . , X n unabhängige reelle Zufallsvariable. Ist
1. X i ≥ 0 (i = 1, . . . , n) oder
2. X i integrierbar (i = 1, . . . , n),
dann gilt
∏
Ist 2. erfüllt, ist n X i integrierbar.
i=1
E [ n∏ ] n∏
X i = E[X i ].
i=1
i=1
∞⊗
B(1, p).
i=1
Beweis: Sei
Q i := VertX i und Q := Vert ( ⊗
n )
X i .
i=1