Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

4. DAS INTEGRAL 37
und
Beispielsweise ist m =
und
f ist m-integrierbar ⇐⇒ f ∈ L 0 (Ω, A) und
∞∑
α n |f(ω n )| < ∞.
n=1
∞∑
ɛ n das Zählmaß auf (N, P(N)) und es gilt
n=1
∫ ∗
fdm =
f ist m-integrierbar
∞∑
f(n) (f ≥ 0)
n=1
⇐⇒
∞∑
|f(n)| < ∞.
Dieses Maß ist wichtig für die Theorie der absolut konvergenten Reihen.
4.14 Bemerkungen über Riemann- und Lebesgue-Integral
1. Das Riemann-Integral
mit
⎧
⎨K(R)
ν :
⎩f
→ R
↦→
∫ b
a
n=1
f(x)dx
K(R) := {f ∈ C(R) : ∃α, a, b ∈ R : ‖f| ≤ α1 [a;b] }
ist definiert durch die Stammfunktion der Funktion f. Es ist
und
die Fortsetzung von ν.
K σ (R) = {f : R R : f messbar , ∃α, a, b : f ≥ −α1 [a;b] } → R ∪ {∞}
ν σ : K σ (R) → R ∪ {∞}
Eine Funktion f ist genau dann ν σ -integrierbar, wenn f λ-integrierbar ist, wobei die λ-
integrierbaren, Borel-meßbaren Funktionen genau die Elemente von L(R, B(R), λ) sind.
2. Das Lebesgue-Maß
⎧{
∫
⎪⎨ B ∪ N : B ∈ B(R),
λ :
⎪⎩ A
}
1 N dλ = 0
→ R
∫ ∗
↦→ 1 A dλ
setzt das Lebesgue-Borel’sche Maß fort. Entsprechendes gilt für höhere Dimensionen.
4.15 Definition
Sei A ∈ A unf f zumindest auf A definiert. Definiere dann
⎧
⎪⎨ Ω → R
{
f A := f| A und f A : f(ω), ω ∈ A
⎪⎩ ω ↦→
0, ω ∈ CA.
∫
Ist f A ≥ 0 messbar, so heißt
A
fdm :=
m-integrierbar, so sagt man, f sei über A integrierbar.
∫ ∗
f A dm Integral von f über A. Ist A außerdem