Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 73
Sei A n :=
k n
⋃
i=1
K 1
n (ω i), d.h. A n ist abgeschlossen (n ∈ N).
Beh: m[A 1 ∩ . . . ∩ A n ] ≥ m[Ω] − ɛ
n∑
i=1
“n = 1”: klar nach obiger Rechnung.
“n → n + 1”: Es gilt
Nun ist K :=
1
2 i .
m[A 1 ∩ . . . ∩ A n+1 ] = m[A 1 ∩ . . . ∩ A n ] + m[A n+1 ] − m [ (A 1 ∩ . . . ∩ A n ) ∪ A n+1
]
≥ m[A 1 ∩ . . . ∩ A n ] + m[A n+1 ] − m[Ω]
n∑
1
≥ m[Ω] − ɛ
2
+ m[Ω] − ɛ
i 2
− m[Ω]
n+1
i=1
n+1
∑
= m[Ω] − ɛ
i=1
1
2 i .
∞⋂
A n abgeschlossen, also vollständig. Da für n ∈ N
n=1
K ⊆ A n = K 1
n (ω 1) ∪ . . . ∪ K 1
n (ω k n
)
ist K als endliche Vereinigung kompakter Mengen kompakt. Da m stetig von oben ist und
m[A n ] ≤ m[Ω] < ∞, folgt
[
m[K] = inf m ⋂
n ] [
A i = lim m ⋂
n ]
A i ≥ m[Ω] − ɛ.
n∈N n→∞
i=1
i=1
✷
1. Beh.: Es gilt F(Ω) ⊆ D.
Sei ɛ > 0 und A abgeschlossen. Wie eben gezeigt gibt es ein K mit
m[A] − m[A ∩ K] = m[A ∪ K] − m[K] ≤ m[Ω] − m[K] ≤ ɛ
und A ∩ K ∈ K(Ω). Ferner ist U n := {ω ∈ Ω : d(ω, A) < 1 n } ∈ G(Ω) mit U n ↓ A Wegen der
Stetigkeit von m von oben ist m[A] = inf m[U n]. Daraus folgt die Behauptung.
✷
n∈N
2. Beh.: A ∈ D ⇒ CA ∈ D.
Denn: Sei ɛ > 0. Dann gibt es ein K ɛ ∈ K und U ɛ ∈ G(ω), so dass K ɛ ⊆ A ⊆ U ɛ und
m[U ɛ ] − m[K ɛ ] ≤ ɛ. Damit ist CU ɛ ⊆ CA ⊆ CK ɛ mit CU ɛ ∈ F(Ω) und CK ɛ ∈ G(Ω) Nach dem
oben Gezeigten gibt es ein A ɛ ∈ K(Ω) mit A ɛ ⊆ CU ɛ und m[CU ɛ ] − m[A ɛ ] ≤ ɛ. Damit ist auch
m[CK ɛ ] − m[A ɛ ] ≤ m[Ω] − m[K ɛ ] + ɛ − m[Ω] + m[U ɛ ] ≤ 2ɛ.
3. Sei schließlich (A n ) ∈ (D) N , paarweise fremd,
∞⊎
Beh: A n ∈ D.
n=1
Definiere A :=
∞⊎
. Dann gibt es nach oben Gezeigtem für n ∈ N und ɛ > 0 Mengen K n ∈
n=1
K(Ω), U n ∈ G(Ω) mit K n ⊆ A n ⊆ U n und m[U n ] − m[K n ] ≤ ɛ
2
. Deshalb gibt es ein N(ɛ) ∈ N,
n