Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

184 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
21.4 Satz
Für jeden Poisson-Prozess (X t ) t∈R+
zum Parameter α > 0 gilt:
1. Sei t 0 ∈ R + . Dann sind fast alle Pfade stetig in t 0 .
2. Fast alle Pfade besitzen unendlich viele Sprünge der Größe 1.
3. Ist (X t ) t∈R+ normal, so haben fast alle Pfade ihre Werte in Z + .
Beweis:
1. Œ liege jeder Pfad t ↦→ X t (ω) in D(R + , Z).
In t 0 = 0 sind alle Pfade rechtsseitig stetig, also stetig.
Ist t 0 > 0 so ist
A := ⋂ s∈Q,
s 0}
die Menge der ω, deren Pfad in t 0 unstetig ist. Wegen
lim P[X t − X s > 0] = lim 1 − P[X t0 − X s = 0] = lim 1 − e −α(t0−s) = 0
s↑t 0 s↑t0 s↑t0
und der Stetigkeit von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist A eine Nullmenge.
2. Es genügt zu zeigen: Mit
B := {ω : X n (ω) − X n−1 (ω) ≥ 1 für unendlich viele n ∈ N}
ist P[B] = 1.
Denn: Für jedes ω ∈ B und jedes n ∈ N mit mit X n (ω) − X n−1 (ω) ≥ 1 liegt in [n − 1; n]
die Sprungstelle t = inf{s ∈ [n − 1; n] : X s (ω) = X n (ω)}. Also hat der Pfad unendlich viele
Sprungstellen.
Die obige Behauptung folgt wegen
∞∑
∞∑
P[X n − X n−1 ≥ 1] = 1 − e −α = ∞
n=1
und der Unabhängigkeit der Zuwächse aus dem Borel-Cantelli Lemma 12.9.
3. Da X 0 = 0 fast sicher, ist X t ≥ 0 fast sicher (t ∈ R + ) und damit X t (ω) ∈ Z + .
n=1