Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

4. DAS INTEGRAL 31
Dabei steht vereinfachend E σ := E σ (Ω, A, m). Die Funktion f heißt integrierbar, wenn
∫ ∫ ∗
−∞ < fdm = fdm < ∞.
∫
Der gemeinsame Wert
falls 1 A integrierbar ist.
Weiter definieren wir
∗
fdm heißt dann das Integral von f. Eine Menge A ⊆ Ω heißt integrierbar,
• die Menge aller integrierbaren Funktionen
L(m) := L(Ω, m)
• und für eine σ-Algebra A die Menge aller A-meßbaren, m-integrierbaren Funktionen
4.7 Lemma
Für alle Funktionen f, g : Ω → R und α ∈ R + gilt:
∫ ∫ ∗
1. fdm ≤ fdm,
∗
L 1 (m) := L 1 (Ω, A, m, R) := L 0 (Ω, A) ∩ L(m).
∫ ∗ ∫ ∗ ∫ ∫
2. f ≤ g ⇒ fdm ≤ gdm, fdm ≤ gdm,
3.
∫ ∗ ∫ ∗
αfdm = α fdm,
∗
∗
∫
∫
αfdm = α fdm.
4. Sei f ∈ E σ (Ω, R, m). Dann gilt
∫ ∗
• fdm = µ σ (f).
∫
• fdm = µ σ (f), falls Ist m endlich ist,
∗
• f integrierbar ⇔ µ σ (f) < ∞,
n∑
• falls f = α i 1 Ai ∈ E(Ω, R, m), so gilt:
i=1
∗
∗
f integrierbar ⇐⇒ (α i ≠ 0 ⇒ m[A i ] < ∞ i = 1, . . . , n),
5. ist
∫ ∗ ∫ ∗
fdm, gdm < ∞, so ist
∫ ∗
(f + g)dm ≤
∫ ∗ ∫ ∗
inf(f, g)dm + sup(f, g)dm ≤
∫ ∗ ∫ ∗
fdm + gdm.
Ist
∫ ∫
fdm, gdm > −∞, so ist
∗
∗
∫ ∫ ∫
∫
fdm + gdm ≤ inf(f, g)dm + sup(f, g)dm ≤
∗
∗
∗
∗
∫
(f + g)dm.
∗