Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

3. MESSBARE ABBILDUNGEN UND FUNKTIONEN 23
2. Rechenregeln für Indikatorfunktionen
Für A, B, (A n ) n∈N ∈ Ω N gilt:
• A ⊆ B ⇔ 1 A ≤ 1 B ,
• A n ↑ A ⇔ A n ⊆ A n+1 (n ∈ N) ∧ A = ⋃ A n ⇔ 1 An ↑ 1 A ,
n∈N
• A n ↓ A ⇔ A n ⊇ A n+1 (n ∈ N) ∧ A = ⋂ n∈N
A n ⇔ 1 An ↓ 1 A ,
• 1 ⋃
n∈N
= sup 1 An , 1 ⋂
A n n∈N
n∈N
A n
= inf
n∈N 1 A n
,
• 1 A∪B + 1 A∩B = 1 A + 1 B , 1 A\B = 1 A − 1 A∩B , 1 CA = 1 − 1 A ,
• A = ⊎ i∈I
A i
⇔ 1 A = ∑ i∈I
1 Ai .
3. Eine Menge F ⊆ R Ω von Funktionen heißt
• Funktionenkegel, falls
f + g ∈ F, αf ∈ F (f, g ∈ F, α ∈ R + ),
• Funktionenraum oder Vektorraum reeller Funktionen , falls F ⊆ R Ω , ein Funktionenkegel
ist mit −F ⊆ F (d.h. f ∈ F ⇒ −f ∈ F ).
• Verband, wenn
inf(f, g), sup(f, g) ∈ F (f, g ∈ F ).
• Ein Verband, der Funktionenkegel ist, heißt Kegelverband.
• Ein Verband, der Funktionenraum ist, heißt Vektorverband.
• Ferner sei
F + := {f ∈ F : f ≥ 0}
F σ := {f ∈ R Ω : ∃(f n ) n∈N ∈ F N : f n ↑ f}.
4. Mit F sind auch F + und F σ Verbände bzw. Kegelverbände.
5. Beh.: Ist F ein Verband, so gilt (F σ ) σ = F σ .
Denn:
“⊇”: Ist klar.
“⊆”: Sei (f n ) n∈N ∈ (F σ ) N mit f n ↑ f. Damit gibt es Folgen (g nk ) k∈N ∈ F N mit g nk ↑ f n .
Mit g n := sup k≤n g nk ∈ F und g n ↑ f folgt f ∈ F σ .
✷
3.17 Definition
Sei R ⊆ A ein Ring. Eine R-Treppenfunktion ist eine Funktion
t = ∑ i∈I
α i 1 Ai
mit I endlich, (α i ) i∈I ∈ R I und (A i ) i∈I ∈ R I . Wir definieren T (Ω, R) als die Menge aller R-
Treppenfunktionen.