Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

20. DIE BROWN’SCHE BEWEGUNG 179
20.16 Korollar
Für fast alle Pfade einer reellen Brown’schen Bewegung gilt:
1. Sie sind in keinem nicht-ausgearteten Intervall monoton.
2. Sie sind in keinem kompakten, nichtausgearteten Intervall [s, t] von beschränkter Variation, d.h.
V [s,t] X(ω) := sup { ∑
n |X ti (ω) − X ti−1 (ω)| : n ∈ N, s = t 0 < t 1 < . . . < t n = t } = ∞
für fast alle ω ∈ Ω.
i=1
Beweis: Wir benutzen (vgl. [HS] 17.12, 17.16):
1. Jede monotone Funktion ist λ-fast überall differenzierbar
2. Jede Funktion von beschränkter Variation ist Differenz zweier isotoner Funktionen, also λ-fast
überall differenzierbar.
Mit folgt die Behauptung aus 20.15.
✷
20.17 Satz
Jede d-dimensionale Brown’sche Bewegung (X t ) t≥0 ist von endlicher quadratischer Variation,
d.h. für 0 ≤ s < t und s = t 0 < t 1 < . . . < t n = t, einer Zerlegung von [s; t] ist
[( ∑
n ) 2 ]
E ||X ti − X ti−1 || 2 n→∞
− d(t − s) −−−→ 0,
i=1
wenn der Feinheitsgrad der Zerlegung gegen 0 konvergiert, d.h. wenn
max (t i − t i−1 ) n→∞
−→ 0.
1≤i≤n
Beweis: Zunächst ist nach 20.3
[ ∑
n
E ||X ti − X ti−1 || 2] =
i=1
und wegen der Unabhängigkeit gilt
[ ( ∑
n
E ||X ti − X ti−1 || 2) ] 2
=
i=1
20.3
=
n∑
E [ ||X ti − X ti−1 || 4] +
i=1
n∑
i=1
n∑
d(d + 2)(t i − t i−1 ) 2 +
i=1
i=1
i=1
n∑
d(t i − t i−1 ) = d(t − s)
i=1
n∑
E [ ||X ti − X ti−1 || 2 ||X tj − X tj−1 || 2]
j=1
j≠i
n∑
i=1
n∑
d(t i − t i−1 )d(t j − t j−1 )
j=1
j≠i
= d 2[ ∑
n (t i − t i−1 ) ] 2
∑ n n∑
+ 2d (t i − t i−1 ) 2 = d 2 (t − s) 2 + 2d (t i − t i−1 ) 2 .
i=1