Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

154 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
17.9 Korollar
Zu jeder Familie (P J ) J⊂⊂I von Wahrscheinlichkeitsmaßen über einen polnischen Raum E und jeder
bzgl. des projektiven Limes P I := P J wesentlichen Menge C ⊆ E I ist der C-kanonische
lim ←−
J ⊂⊂ I
Prozess der einzige Koordinatenprozess mit Pfadmenge C, dessen endlich-dimensionalen Randverteilungen
die (P J ) J⊂⊂I sind
Beweis: Wegen 17.6 und 17.8 ist nur zu zeigen:
Beh: Für einen C-kanonischen Prozess
(C, C ∩ B I , P ∗ I | C∩B I
, (Y t ) t∈I = (π t | C ) t∈I , E)
und jedes Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf C ∩ B I mit Y J (Q) = P J (J ⊂⊂ I) ist Q = P ∗ I | C∩B I
.
Sei dazu
{
E := ( ∏
}
B J ) : B j ∈ B, J ⊂⊂ I .
Y −1
J
Dann ist E ein ∩-stabiler Erzeuger von C ∩ B I , denn für J, J ′ ⊂⊂ I und B j ⊆ B
Y −1 ( ∏ ) (
J
B j ∩ Y
−1
∏ ) (
J
B ′
j
′ = Y
−1
∏ )
J∪J
A ′ j ∩ A ′ j
j∈J
j ′ ∈J ′ j∈J∪J ′
j∈J
(j ∈ J ∪ J ′ ) ist
mit
A j = B j (j ∈ J),
A j = E (j /∈ J),
A ′ j = B j (j ∈ J ′ ), A ′ j = E (j /∈ J ′ ).
Damit ist für P := P ∗ I | C
P [ Y −1
J
( ∏ )] [ ∏
B j = PJ
j∈J
j∈J
]
B j = Q[Y
−1
J
( ∏ B j )]
j∈J
und damit P = Q.
✷
17.10 Bemerkungen
1. Sei E ein nicht einpunktiger Hausdorff-Raum und I ein nicht ausgeartetes Intervall in R.
Dann gibt es keine σ-Algebra B auf E, so dass C(I, E) ⊆ B I . Andernfalls existiert nach 9.5 ein
J ⊂⊂ I abzählbar und ein B ∈ B J mit C(I, E) = π −1
J
(B). Sei nun ω 0 ∈ C(I, E), t 0 ∈ I \ J und
x 0 ∈ E \ {ω 0 (t 0 )}. Definiere
{
ω 0 (t) falls t ≠ t 0
ω : t ↦→
x 0 falls t = t 0 .
Damit ist ω /∈ C(I, E), aber andererseits
π J (ω) = (ω(t)) t∈J = π J (ω 0 ) ∈ B,
also ω ∈ π −1 (B) = C(I, E). Das ist ein Widerspruch.
J
2. Ist insbesondere (E, B(E)) polnisch, ω ∈ C(I, E) und
P J := ⊗ t∈I
ɛ ω(t)
(J ⊂⊂ I).
Dann ist
P I =
also P I ∗ (C) = 1, also ist C(I, E) wesentlich.
lim ←−
P J = ⊗ ɛ ω(t) ,
J ⊂⊂ I t∈I
Dies zeigt, dass man in 17.8 wirklich mit dem äußeren Maß arbeiten muss.