Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

68 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
7.11 Fortsetzungssatz (Tonsøe)
Jedes semiendliche Prämaß auf einem Ring R läßt sich zu einem semiendlichen Maß auf die von
erzeugte σ-Algebra fortsetzen.
R loc := {A ⊆ Ω : A ∩ R ∈ R (R ∈ R)} ⊇ R
Beweis: Sei K := {m < ∞} ⊆ R der Ring der m-integrierbaren Mengen. Dann ist
A(m) := {A ⊆ Ω : A ∩ K m-integrierbar ∀K ∈ K} ⊇ R loc .
Das Mengensystem A(m) ist eine Algebra, da es C-stabil ist, denn für A ∈ A(m) und K ∈ K ist
CA ∩ K = K \ (A ∩ K) m-integrierbar.
Für K ∈ K ist
⎧
⎨A(m) → [0;
∫
∞]
ν K :
⎩ A ↦→ 1 A∩K dm
ein endlicher Inhalt.
Beh: A(m) ist eine σ-Algebra und ν K ist ein semiendliches Maß.
Zu zeigen ist: ∀(A n ) n∈N ∈ (A(m)) N mit A n ↑ A ist A ∈ A(m) und ν K [A n ] ↑ ν K [A].
Nach 6.1 gilt
und
Damit ist
ν K [A] = sup
n∈N
∫
∫
1 An∩Kdm = sup ν K [A n ] ≤ ν K [Ω] =
n∈N
∫
m[A ∩ K] = 1 A∩K dm = ν K [K] < m[K] < ∞.
∫
1 A∩K = sup 1
} A∩K mit 1
{{ }
A∩K dm ≤ m[K] < ∞,
n∈N
∈L(m)
1 K dm = m[K] < ∞.
also ist A ∈ A(m). Das System (ν K ) K∈K ist aufsteigend filtrierend, d.h. für K, L gibt es ein M
mit ν M ≥ sup(ν K , ν L ), denn ν K , ν L ≤ ν K ∪ L . Also ist nach 2.7 sup ν K ein Maß auf A(m). Sei
K∈K
nun ν die Restriktion von sup ν K auf σ(R loc ) ⊆ A(m). Dann ist ν ein Maß auf R loc .
K∈K
Beh: ν setzt m fort.
Denn: Für A ∈ R gilt, da m semiendlich ist
Also gilt
und damit
m[A] = sup m[K] ≤ sup m[K ∩ A] = sup
K∈K
K⊆A
K⊆K
K∈K
∫
1 A∩K dm = ν[A].
m[A] = ∞ ⇒ ν[A] = ∞,
∫
m[A] < ∞ ⇒ m[A] ≤ ν[A] ≤ 1 A dm = m[A],
m[A] = ν[A].
Beh: ν ist semiendlich.
Denn: für A ∈ σ(R loc ) und für K ∈ K ist ν[A ∩ K] ≤ ν[K] = m[K] < ∞ und
ν[A] = sup ν K [A] = sup ν K [A ∩ K] ≤ sup ν[A ∩ K] ≤ ν[A].
K∈K
K∈K
K∈K
✷