Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

16. DER SATZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS 147
da
und
P [ lim inf
k→∞ {S n k−1 ≥ −2√ n k−1 Ψ(n k−1 )} ] = 1
lim sup
n→∞
für Folgen (B n ) n∈N und (C n ) n∈N . Also gilt
(B n ∩ C n ) ⊇ lim sup
n→∞
B n ∩ lim inf
n→∞ C n
P[A α ] ≥ P [ lim sup{Z k > α √ n k Ψ(n k ) + 2 √ n k−1 Ψ(n k−1 )} ]
k→∞
≥ P [ lim sup{Z k > (α √ n + 2) √ n k−1 Ψ(n k )} ]
k→∞
≥ P [ lim sup{Z k > √ n − 1 √ n k−1 Ψ(n k )} ]
k→∞
= P [ lim sup{Z k > √ n k − n k−1 Ψ(n k )} ]
k→∞
Nach dem Borel-Cantelli-Lemma 12.9 genügt es wegen der Unabhängigkeit der (Z k ) k∈N , die
folgende Behauptung zu zeigen.
Beh:
∞∑
k=1
[
P
Z k
√
nk − n k−1
} {{ }
N 0,1−verteilt
]
> Ψ(n k ) =
∞∑
[1 − Φ(Ψ(n k ))] = ∞.
Für schließlich alle k ist x := Ψ(n k ) ≥ √ 2, also x 2 ≥ 2 und auch x 3 ≥ 2x. Damit ist 1
2x ≥ 1 x 3
und 1
2x ≤ 1 x − 1 x 3 . Nach 16.2 ist damit
k=1
1 − Φ(Ψ(n k 1 1
)) ≥ √
2Ψ(n k exp ( − 1
) 2π
2 Ψ2 (n k ) ) = 1
2 √ 2π
= 1
4 √ 1 1
√ .
π k log n log(k log n)
1
√
2 log log n
k
1
log n k
Der Cauchy’schem Verdichtungssatz besagt für eine Folge antitone Folge (α n ) n∈N mit α n → 0
Da Ψ isoton ist und
∞∑
k=1
∞∑
α k < ∞
k=1
⇐⇒
2 k
∞
2 k log n √ log(2 k log n) = ∑
≥
k=1
k=1
∞∑
2 k α 2 k ≤ ∞.
k=1
1
log n √ k log 2 + log log n
∞∑ 1 1
√ √k = c 3
log n 2 log 2
} {{ }
=:c 3
1
∞ ∑
k=1
1
√
k
= ∞,
da log log n ≤ k log 2 für schließlich alle k, gilt mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz die obige
Behauptung.
16.4 Bemerkung
1. Das vorangehende Resultat stammt von Hartmann und Wintner (1941). Eine frühere Version
stammt von Klintchine (1927) im Spezialfall des Münzwurfs. Kolmogoroff bewies diesen Satz
1929 für geeignete, beschränkte (X n )). Der obige Beweis stammt von Hartmann, Wintner und
Strasser (siehe [BW], S. 288 ff.)
✷