Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

196 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
22.23 Satz
Ist P B ein Erwartungskern zu B ⊆ A, so gilt für die bedingte Erwartung von X ∈ L 1 (Ω, A, P)
∫
E[X|B] = X(ω ′ )P B (., dω ′ ) fast sicher.
Insbesondere ist
∫ ( ∫
E[X] =
)
X(ω ′ )P B (ω, dω ′ ) P[dω].
Beweis: Für X = 1 A mit A ∈ A ist dies die Definition des Erwartungskerns, also ist für solche X
die Behauptung richtig. Damit gilt sie ebenso für positive Treppenfunktionen, also wegen monotoner
Konvergenz für integrierbare X ≥ 0. Damit folgt die Behauptung aus X = X + − X − und
der Linearität der bedingten Erwartung (22.8, 22.9).
✷
22.24 Definition
Sind (Ω ′ , A ′ ) und (Ω ′′ , A ′′ ) Messräume, X : Ω → Ω ′′ und Y : Ω → Ω ′ Zufallsvariablen, so heißt ein
Markoff-Kern
P X|Y : Ω × A ′′ → [0; 1] von (Ω, σ(Y )) nach (Ω ′′ , A ′′ ),
für den P X|Y [., A ′′ ] eine Version der bedingten Wahrscheinlichkeit P[X −1 (A ′′ )|Y ] für jedes A ′′ ∈
A ′′ ist, bedingte Verteilung von X unter der Hypothese Y . Anders ausgedrückt ist
22.25 Bemerkung
P X|Y [., A ′′ ] = P[X −1 (A ′′ )|Y ] fast sicher (A ′′ ∈ A ′′ ).
Der Spezialfall (Ω ′ , A ′ ) = (Ω, B) und Y = id Ω liefert σ(Y ) = B und damit die bedingte Verteilung
von X unter der Hypothese B. Ist überdies (Ω ′′ , A ′′ ) = (Ω, A) und X = id Ω , so ergibt sich der
Erwartungskern P B , denn
P X|Y [., A ′′ ] = P[X −1 (A ′′ )|Y ] = P[A ′′ |B] = P B [., A ′′ ] fast sicher (A ′′ ∈ A ′′ ).
22.26 Definition
Ein Markoff-Kern K von (Ω ′ , A ′ ) nach (Ω ′′ , A ′′ ) heißt faktorisierte bedingte Verteilung von X unter
der Hypothese Y , falls für jedes A ′′ ∈ A ′′ die Abbildung K[., A ′′ ] eine Version der faktorisierten
bedingten Wahrscheinlichkeit P[X −1 (A ′′ )|Y = .] ist. Für y ∈ Ω ′ bezeichnet man das Wahrscheinlichkeitsmaß
K[y, .] suggestiv mit P X|Y =y und folglich mit
P X|Y =. : (y, A ′′ ) ↦→ P X|Y =y [A ′′ ]
PY -f.s.
= P[X −1 (A ′′ )|Y = y],
also
Damit gilt
P X|Y =. ◦ Y = P X|Y .
K[., A ′′ ] = P[X −1 (A ′′ )|Y = .] = P X|Y =. [X −1 (A ′′ )] P Y -fast sicher.
22.27 Bemerkung
Definitionsgemäß sind für A ′′ ∈ A ′′ P X|Y [., A ′′ ] und P X|Y =. [A ′′ ] P Y -fast-sicher, also bis auf von
A ′′ abhängige Nullmengen eindeutig bestimmt. Gibt es jedoch einen abzählbaren Erzeuger B ′′
von A ′′ = σ(B ′′ ), so kann man die Nullmengen universell, d.h. unabhängig von A ′′ wählen: Sei
dazu Œ B ′′ ∩-stabil, Ω ′′ ∈ B ′′ . Eindeutigkeit gilt dann universell für A ′′ ∈ B ′′ , außerhalb der
Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen, also einer Nullmenge N. Die Behauptung folgt dann