Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

3. MESSBARE ABBILDUNGEN UND FUNKTIONEN 19
3.5 Satz
Seien (Ω i , A i ) Messräume (i = 1, 2, 3), X 1 : Ω 1 → Ω 2 , X 2 : Ω 2 → Ω 3 A 1 − A 2 - bzw. A 2 − A 3 -
messbar.
Dann ist X 2 ◦ X 1 : Ω 1 → Ω 3 A 1 − A 3 -messbar.
Beweis: Sei A ∈ A 3 . Dann gilt (X 2 ◦ X 1 ) −1 (A) = X1 −1 (X−1 2
} {{ (A) ) ∈ A 1 . ✷
}
∈A 2
3.6 Satz (Restriktion und Zusammensetzung messbarer Abbildungen)
1. Sei X : Ω → Ω ′ messbar und A ⊆ Ω. Dann ist X| A A ∩ A − A ′ -messbar
2. Sei I höchstens abzählbar, (A i ) i∈I ∈ A I , X : ⋃ i∈I
A i → Ω ′ Dann gilt:
X| Ai A i ∩ A − A ′ -messbar (i ∈ I) ⇒ X
( ⋃
i∈I
A i
)
∩ A − A ′ -messbar.
Ist insbesondere ⋃ i∈I
A i = Ω, so gilt:
X| Ai A i ∩ A − A ′ -messbar (i ∈ I) ⇒ X A − A ′ -messbar.
Beweis:
1. Für A ′ ∈ A ′ ist (X| A ) −1 (A ′ ) = A ∩ X −1 (A ′ ) ∈ A ∩ A.
2. Für A ′ ∈ A ′ ist
A i ∩ X −1 (A ′ ) = (X| Ai ) −1 (A ′ ) ∈ A i ∩ A ⊆ A
(i ∈ I).
Damit gilt
( ⋃ ) ( ⋃ )
X −1 (A ′ ) = A i ∩ X −1 (A ′ ) ∈ A i ∩ A.
i∈I
i∈I
✷
3.7 Definition
Eine Funktion f : Ω → R heißt (A)-messbar oder Borel-messbar, wenn f A − B(R)-messbar ist.
3.8 Beispiel
Für A ⊆ Ω heißt
1 A : ω ↦→
{
1, ω ∈ A
0, ω ∈ CA
Indikatorfunktion von A. Damit ist (1 A ) −1 (B(R)) = {∅, Ω, A, CA}. Also gilt:
1 A ist messbar ⇐⇒ A ∈ A ⇐⇒ A messbar.