Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

20. DIE BROWN’SCHE BEWEGUNG 171
20 Die Brown’sche Bewegung
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
20.1 Definition
Ein Prozess (X t ) t∈R+ mit Zustandsraum R d heißt d-dimensionale Brown’sche Bewegung, falls
folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. (X t ) t∈R+ hat unabhängige, stationäre und normalverteilte Zuwächse, d.h.
wobei
Vert(X t − X s ) = µ t−s
µ t :=
die Brown’sche Faltungshalbgruppe ist.
(0 ≤ s ≤ t),
d⊗
N 0,t (t > 0) und µ 0 = ɛ 0
2. Fast alle Pfade t ↦→ X t (ω) von (X t ) t∈I sind stetig.
Gilt überdies
1
3. X 0 = 0 fast sicher, so heißt die Brown’sche Bewegung normal oder standardisiert.
20.2 Bemerkung
Wir wollen zunächst die Existenz dieses Prozesses beweisen. Dabei wissen wir schon von 18.8, dass
es Prozesse gibt, die die erste Bedingung erfüllen. Zu zeigen ist also, dass es derartige Prozesse
gibt, deren Pfade stetig sind. Dazu müssen wir zeigen, dass C(R + , R d ) wesentlich für die Verteilung
des Prozesses ist (siehe 17.8). Dazu hilft uns 17.12. Zur Anwendung dieses Resultats benötigen
wir zunächst ein Lemma.
20.3 Lemma
Sei d, n ∈ N und Y eine µ t -verteilte Zufallsvariable mit Werten in R d . Dann gibt es ein c n > 0, so
dass für jedes t ∈ R ∗ +
E[||Y || 2n ] = c n t n ,
und speziell
c 1 = d,
c 2 = d(d + 2).
Beweis: Es gilt
E[||Y || 2n ] = (2πt) − d 2
∫
( )
||y|| 2n exp − 1 2t ||y|| λ d x:= √ y t
[dy] = t n (2π) − d 2
Insbesondere ist
∫ d∑
∫
c 1 = x 2 i µ 1 [dx] = d x 2 N 0,1 [dx] = d,
i=1
} {{ }
Var[N 0,1]
∫ d∑ d∑
d∑
∫
c 2 =
x 2 jµ 1 [dx] = x 4 i N 0,1 [dx i ]
x 2 i
i=1 j=1
i=1
∫
(
1
2 ||x|| )λ d [dx]
||x|| 2n exp
} {{ }
=:c n>0