Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

22. SATZ VON RADON-NIKODYM UND BEDINGTE ERWARTUNGEN 191
22.11 Korollar (Jensen’sche Ungleichung für Erwartungswerte)
Sei φ : R → R konvex und X ∈ L 1 (Ω, A, P) mit φ ◦ X ∈ L 1 (Ω, A, P). Dann gilt
φ(E[X]) ≤ E[φ ◦ X].
Beweis: Setze B = {∅, Ω}. Dann folgt die Behauptung aus
φ(E[X]) = φ ◦ E B [X] ≤ E B [φ ◦ X] = E[φ ◦ X].
✷
22.12 Korollar
Sei p ∈ [0; ∞]. Für X ∈ L p (Ω, A, P) und jede σ-Algebra B ⊆ A ist E B [X] ∈ L p (Ω, A, P) mit
||E B [X]|| p ≤ ||X|| p .
Für p < ∞ gilt schärfer
|E B [X]| p ≤ E B[ |X| p] .
Beweis:
Für p < ∞: folgt die Aussage aus 22.10 mit φ : t ↦→ |t| p , denn aus φ ◦ X ∈ L 1 (Ω, A, P) folgt die
schärfere Aussage. Bildet man dann den Erwartungswert auf beiden Seiten der Ungleichung, folgt
die obere Aussage.
Für p = ∞ folgt die Aussage aus 22.8.6, denn sei α = ||X|| ∞ . Dann ist X ≤ α fast sicher, also
auch X B ≤ α fast sicher.
✷
22.13 Satz (Multiplikativität)
Für p, q ∈ [1; ∞] mit 1 p + 1 q = 1 und X ∈ Lp (Ω, A, P), Y ∈ L q (Ω, A, P) ist, falls X eine B-messbare
Zufallsvariable ist,
E B [XY ] = XE B [Y ] = E B [X]E B [Y ] fast sicher.
Beweis: Esi ist nur zu zeigen, dass E B [XY ] = XE B [Y ]. Sei hierzu Œ X ≥ 0, denn wegen
majorisierter Konvergenz ist Œ X eine B-Elementarfunktion und wegen Linearität ist Œ X = 1 B
mit B ∈ B. Da XE B [Y ] stets B-messbar ist, genügt es,
∫
∫
XE B [Y ]dP = XY dP (A ∈ B)
zu zeigen. Dies folgt aber aus
∫
∫
∫
XE B [Y ]dP = 1 B E B [Y ]dP =
A
22.14 Satz (Glättung)
A
A
A∩B∈B
A
∫
E B [Y ]dP =
A∩B
∫
Y dP =
Sind B 1 ⊆ B 2 ⊆ A Unter-σ-Algebren von A, so gilt für X ∈ L 1 (Ω, A, P)
(X B2 ) B1 = X B1 = (X B1 ) B2 fast sicher.
A
∫
1 B Y dP =
A
XY dP.
✷