Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

22. SATZ VON RADON-NIKODYM UND BEDINGTE ERWARTUNGEN 189
3. Sei B ∈ A mit 0 < P[B] < 1 und B = σ ( {B} ) = {∅, B, CB, Ω} und außerdem X ∈ L 1 (Ω, A, P).
Dann ist X B = α1 B + β1 CB , da X B nach Definition B-messbar ist mit
∫
∫ ∫
αP[B] = X B dP = XdP = Xd(1 B P),
B
B
also ist
α = 1 ∫
P[B]
∫
Xd(1 B P) =
( 1B
)
Xd
P[B] P =: E B [X] =: E[X|B]
die bedingte Erwartung unter der Hypothese B. Die elementare bedingte Wahrscheinlichkeit ist
definiert durch das Maß
{
1 A → [0; 1]
P[B] 1 BP :
A
=: P[A|B].
Analog ist β = E[X|CB] ∈ R. Also ist
↦→ P[A∩B]
P[B]
X B = E[X|B]1 B + E[X|CB]1 CB fast sicher.
4. Sei (B i ) i∈I eine höchstens abzählbare messbare Zerlegung von Ω. Dann gilt für B = σ(B i : i ∈ I)
und X ∈ L 1 (Ω, A, P)
X B = ∑ i∈I
E[X|B i ]1 Bi fast sicher.
Ist speziell X = 1 A mit A ∈ A, so gilt
E[1 A |B] = ∑ i∈I
P[A|B i ]1 Bi fast sicher.
22.8 Satz (Linearität und Monotonie bedingter Erwartungen)
Für X, Y ∈ L 1 (Ω, A, P) und α, β ∈ R gilt fast sicher
1. E[X B ] = E[X],
2. X B-messbar ⇒ X B = X fast sicher,
3. X = Y fast sicher ⇒ X B = Y B fast sicher,
4. E[α|B] = α,
5. E[αX + βY |B] = αE[X|B] + βE[Y |B],
6. X ≤ Y fast sicher ⇒ X B ≤ Y B fast sicher,
7. ∣ E B [X] ∣ ≤ E
B [ |X| ] .
Beweis:
1.-5. klar
6. Sei Z := X − Y . Damit ist Z ≥ 0 fast sicher. Nach 22.5 ist also Y B − X B = Z B ≥ 0 fast sicher.
7. Klar ist ±X ≤ |X|. Mit 6. ist damit ±E B [X] = E B [±X] ≤ E B [|X|], also |E B [X]| ≤ E B [|X|].
✷