Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

40 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
4.20 Hauptsatz
1. Jede integrierbare Funktion ist fast überall endlich.
2. Sind f, g Funktionen und gilt f ≤ g fast überall, so ist
∫ ∗ ∫ ∗
fdm ≤ gdm
und
∫ ∫
fdm ≤ gdm.
3. Sind f, g Funktionen und gilt f = g fast überall, so ist
∫ ∗ ∫ ∗
fdm = gdm
∗
∗
und
∫
∗
fdm =
∫
∗
gdm.
4. Ist f ≥ 0 fast überall und gilt
∫ ∗
fdm = 0, so ist f = 0 fast überall.
5. Stimmt eine Funktion f ∈ L∫
1 (Ω, A, m) ∫ fast überall mit einer Funktion g überein, so ist
g ∈ L 1 (Ω, A, m) und es gilt fdm = gdm.
Beweis:
1. Sei A := {|f| = ∞}. Dann ist α1 A ≤ |f| (α ∈ R + ) und damit
α
∫ ∗
1 A dm =
∫ ∗
α1 A dm ≤
∫ ∗
|f|dm < ∞.
Für α → ∞ ergibt sich notwendigerweise
∫ ∗
1 A dm = 0.
2. Sei C{f ≤ g} ⊆ N ∈ A mit m[N] = 0. Dann ist f ≤ ∞1 N + g und
∫ ∗
fdm ≤
∫ ∗
gdm + ∞1 N ≤
∫ ∗ ∫ ∗
∞1 N dm + gdm =
∫ ∗
gdm,
da n1 N ↑ n ∞1 N ∈ E σ (Ω, A, m) und
∫ ∗
∞1 N dm = sup
n∈N
∫ ∗ ∫
n1 N dm = sup n
n∈N
1 N = 0.
3. Folgt direkt aus 2.
4. Sei
Daraus folgt 1 n 1 A n
≤ |f| (n ∈ N), also
A n := {|f| ≥ 1 n
} ↑ {|f| > 0} =: A.
1
n
∫ ∗
1 An dm =
∫ ∗
1
n 1 A n
dm ≤
∫ ∗
|f|dm =
∫ ∗ ∫ ∗
f + dm − f − dm =
∫ ∗
f + dm
=
∫ ∗
fdm = 0.