Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

62 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
7.2 Bemerkung
1. Jeder Ring ist ein Halbring.
2. Ist in 7.1 H sogar ein Ring, so stimmt die Definition von Inhalt mit der Definition 2.1 überein.
Ist in diesem Fall µ σ-endlich, so ist µ ein Prämaß.
3. Ist in 7.1 H sogar eine σ-Algebra, so ist jedes Maß auf H ein Prämaß.
4. Ein Mengensystem H ist genau dann eine Algebra, wenn
1. Ω ∈ H,
2. A, B ∈ H ⇒ A ∪ B ∈ H,
3. A ∈ H ⇒ CA ∈ H.
7.3 Beispiele
1. Sei Ω = {ω 1 , ω 2 , . . . , } abzählbar unendlich.
Beh: Dann ist
A = {A ⊆ Ω : A endlich oder CA endlich }
eine Algebra und
⎧
⎪⎨ A → [0;
{
∞)
µ : 0, A endlich
⎪⎩ A ↦→
1, CA endlich
ein endlicher Inhalt auf A.
Denn: µ[∅] = 0 ist klar.
Seien A, B ∈ A mit A ∩ B = ∅. Ist A ⊎ B endlich, ist natürlich µ[A ⊎ B] = µ[A] + µ[B]. Ist
A ∪ B unendlich und CA endlich, so muss auch B endlich sein. Ist umgekehrt CB endlich ist,
muss A endlich sein. Sei also Œ CA endlich und es gilt C(A ∪ B) ⊆ CA endlich. Damit ist aber
µ[A ∪ B] = 1, µ[A] = 1, µ[B] = 0, also µ[A ⊎ B] = µ[A] + µ[B].
✷
Beh.: µ ist kein Prämaß
Denn: Sei A n := {ω n } (n ∈ N). Dann ist
µ[Ω] = 1 ≠ 0 =
∞∑
µ[A n ].
n=1
2. Sei Ω = {ω 1 , ω 2 , . . . , } abzählbar unendlich und A wie in 1.
Beh: Dann ist
⎧
⎪⎨ A → [0;
{
∞)
µ : 0, A endlich
⎪⎩ A ↦→
∞, CA endlich
ein von oben stetiger Inhalt auf A, aber kein Prämaß.
Denn: Die Behauptung, dass µ ein Inhalt und kein Prämaß ist, zeigt man wie in 1. Klar ist
jedoch, dass µ stetig von oben ist.
✷
3. Seien H i Halbringe in Ω. (i = 1 . . . , n).
Beh: Dann ist auch
∏
H := n { n∏
H i =
∏
ein Halbring in n Ω i .
i=1
i=1
i=1
}
A i : A i ∈ H i (i = 1, . . . , n)
✷