Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

124 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
14.5 Satz
Sei (X n ) n∈N eine Folge reeller Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum.
1. Konvergiert (X n ) n∈N stochastisch gegen eine Zufallsvariable X, dann auch in Verteilung.
2. Konvergiert die Folge X n in Verteilung gegen eine fast sicher konstante Zufallsvariable X,
dann auch stochastisch.
Beweis:
1. Sei P − lim X vage
n = X Nach 14.4 ist nur zu zeigen, dass P Xn −→ P X .
n→∞
Sei dazu f ∈ K(R). Dann ist f gleichmäßig stetig. Sei also ɛ > 0. Dann gibt es ein δ > 0 mit
|f(x) − f(y)| ≤ ɛ
(x, y ∈ R, |x − y| ≤ δ).
Für n ∈ N sei
A n := {|X n − X| > δ} ∈ A.
Dann ist lim P[A n] = 0.
n→∞
Beh: lim E[f ◦ X n] = E[f ◦ X].
n→∞
Es gilt
∫
∫
|E[f ◦ X n ] − E[f ◦ X]| = ∣ f ◦ X n dP − f ◦ XdP∣
∫
∫
∫
∫
≤ ∣ f ◦ X n dP − f ◦ XdP∣ + ∣ f ◦ X n dP − f ◦ XdP∣
A n A n CA n CA
∫
∫
n
≤ |f ◦ X n − f ◦ X|dP + |f ◦ X n − f ◦ X|dP
A n CA n
≤ 2||f||P[A n ] + ɛP[CA n ] ≤ ɛ
für schließlich alle n. Mit ɛ → 0 folgt die Behauptung.
2. Sei X = a fast sicher für ein a ∈ R und
P Xn
schwach
−−−−−→ P X = ɛ a .
Sei ɛ > 0 und I := (a − ɛ; a + ɛ). Dann gibt es Funktionen f, g ∈ K(R) mit 0 ≤ f ≤ 1 I ≤ g und
f(a) = g(a) = 1. Damit ist für n ∈ N
Es folgt
Damit ist
f ◦ X n ≤ 1 I ◦ X n ≤ g ◦ X n .
∫
∫
∫
1 = f(a) = f ◦ XdP = lim f ◦ X n dP ≤ lim 1 I ◦ X n dP
n→∞
n→∞
∫
∫
≤ lim g ◦ X n dP = g ◦ XdP = g(a) = 1
n→∞
d.h. lim
n→∞ P[{X n ∈ I}] = 1 und
∫
lim
n→∞
1 I ◦ X n dP = 1,
lim P[|X n − X| ≥ ɛ] = lim P[|X n − a| ≥ ɛ] = lim P[X n /∈ I] = 1 − lim P[X n ∈ I] = 0.
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
Also ist P − lim
n→∞ X n = a = X fast sicher.
✷