Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

6. KONVERGENZSÄTZE 49
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Für den Rest dieses Paragrafen sei (Ω, A, m) ein Maßraum.
6.2 Korollar (Minkowski’sche Ungleichung)
∞∑
Sei (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N mit |f n | < ∞ fast sicher. Dann gilt
n=1
( ∑ ∞ ) ∞∑
N p f n ≤ N p (f n )
n=1 n=1
(1 ≤ p ≤ ∞).
Beweis:
“p = ∞”: Es ist |f n | ≤ N ∞ (f n ) fast überall und damit nach 4.19.2
∞∑ ∣ ∞∑ ∞∑
∣ f n ≤ |f n | ≤ N ∞ (f n ) fast überall,
also
n=1
n=1
n=1
( ∑
∞ ) ∑
∞
N ∞ f n ≤ N ∞ (f n ).
( ∑
m ) p ( ∑
∞ ) p.
“1 ≤ p < ∞”: Sei Œ f n ≥ 0 (n ∈ N). Damit ist f n ↑ f n
Mit 6.1 folgt
also
n=1
n=1
n=1
n=1
n=1
∫ ∗ ( ∑
m ) pdm
∫ ∗ ( ∑
∞ ) pdm,
f n ↑m f n
n=1
( ∑
∞ ) ( ∑
m )
N p f n = sup N p f n ≤ sup
m∈N
n=1
n=1
m∈N
n=1
m∑
∞∑
N p (f n ) = N p (f n ).
n=1
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6.3 Satz (monotone Konvergenz)
Für jede monotone Folge (f n ) n∈N ∈ (L 1 (m)) N integrierbarer Funkionen gilt
∫
lim f n ∈ L 1 (m) ⇐⇒ lim f n dm < ∞.
n∈N n→∞
Dann ist
∫
∫
lim f ndm = lim
n→∞ n→∞
f n dm.
Beweis: Sei Œ (f n ) n∈N isoton und f := sup f n . Dann gilt
n∈N
∫
−∞ <
∫
f n dm ≤ sup
n∈N
f n dm = sup
n∈N
6.1
= sup
n∈N
∫ ∗ ∫ ∗
f n dm ≤ fdm
∫ ∗ ∫
f n dm = sup
n∈N
f n dm.