Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

80 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
9 Produktmaße
Sei stets (Ω, A i , m i ) i∈I eine Familie von Maßräumen.
Die Ziele dieses Paragraphen sind:
1. Konstruktion einer σ-Algebra auf ∏ Ω i aus den A i
i∈I
2. Konstruktion eines Maßes auf ∏ Ω i aus den m i
i∈I
1. Schritt: Konstruktion einer σ-Algebra auf
9.1 Hauptsatz
∏
Ω i aus den A i
1. Sei Ω eine Menge und X i : Ω → Ω i Abbildungen (i ∈ I). Dann gibt es eine kleinste σ-Algebra
A, bzgl. der alle X i A − A i -messbar sind, nämlich
( ⋃ )
A := σ(X i : i ∈ I) := σ X −1
i (A i ) = ⋃
σ(X j : j ∈ J),
die von allen X i erzeugte σ-Algebra.
i∈I
i∈I
J⊆Iabz.
2. Ist (Ω ′ , A ′ ) ein weiterer Messraum und X : Ω ′ → Ω eine Abbildung. Dann gilt
X ist A ′ − A-messbar ⇐⇒ X i ◦ X ist A ′ − A i -messbar (i ∈ I).
Beweis:
1. Wie man leicht einsieht, ist A := ⋃
klar, dass
Denn:
“⊆”: Sei A ∈ ⋃ i∈I
“⊇”: Sei A ∈
X −1
i
⋃
J⊆Iabz.
( ⋃
σ
i∈I
J⊆I abz.
)
X −1
i (A i ) = ⋃
σ(X j : j ∈ J) eine σ-Algebra. Damit ist aber auch
J⊆Iabz.
σ(X j : j ∈ J).
(A i ). Dann gibt es ein i ∈ I mit A ∈ X −1 (A i ). Dann ist aber auch
A ∈ σ(X i ) ⊆
⋃
J⊆Iabz.
σ(X j : j ∈ J).
σ(X j : j ∈ J). Dann gibt es ein abzählbares J ⊆ I, so dass
( ⋃
A ∈ σ(X j : j ∈ J) = σ
Beh: Alle X i sind A − A i -messbar (i ∈ I).
Denn:
X −1
i (A i ) ⊆ ⋃
J⊆Iabz.
j∈J
)
X −1
j (A j ) ⊆ σ
σ(X j : j ∈ J) = A.
Sei à eine weitere σ-Algebra, so dass X i à − A i-messbar ist (i ∈ I).
Beh: Dann ist A ⊆ Ã.
i
( ⋃
i∈I
)
X −1
i (A i ) .