Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

224 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
26.2 Bemerkung
Ist in 26.1 (X t ) t∈I ein Submartingal, so gilt
und im Falle eines Martingales
X S ≤ E[X T |F S ] fast sicher
X S = E[X T |F S ] fast sicher.
26.3 Hauptsatz (Doob’s Optional Sampling Theorem im diskreten Fall)
Sei I = Z + , (X t , F t ) t∈I ein Supermartingal und (T n ) n∈N eine isotone Folge beschränkter Stoppzeiten
bzgl (F t ) t∈I . Dann ist ( X Tn , F Tn
)n∈N ein Supermartingal. Ist (X t, F t ) t∈I ein Submartingal,
so ist ( )
X Tn , F Tn n∈N ebenso ein Submartingal. Im Falle eines Martingals ist ( X Tn , F Tn
)n∈N
ebenso ein Martingal.
Beweis: Nach 24.6 und 24.8 ist (X Tn ) n∈N an (F Tn ) n∈N adaptiert und jedes T n nimmt nur endlich
viele Werte an, da es sich um in N beschränkte Funktionen handelt. Die Behauptung folgt daher
aus 26.1 und 26.2.
✷
26.4 Korollar (Optional Stopping)
Sei I = Z + , (X t , F t ) t∈I ein Supermartingal bzw. Submartingal bzw. Martingal und T eine Stoppzeit.
Dann ist (
XT ∧n , F T ∧n
)
n∈N
ein Supermartingal bzw. Submartingal bzw. Martingal.
Beweis: Durch
T n := T ∧ n := inf(T, n)
wird eine isotone Folge beschränkter Stoppzeiten definiert. Deshalb folgt die Behauptung direkt
aus 26.3.
✷
26.5 Lemma
Sei I = R + . Zu jeder Optionszeit T bzgl. (F t ) t∈I gibt es eine Folge (T n ) n∈N von Stoppzeiten, so
dass auf {T < ∞}
T n > T, T n (Ω) ⊆ { }
k
2
: k ∈ N n + (n ∈ N)
und T n ↓ T gilt.
Beweis: Für n ∈ N 0 sei
T n :=
{
k+1
2 n falls { k
2 n ≤ T < k+1
2 n } für ein k ∈ N 0
+∞ falls {T = ∞}.
Dann ist T n > T auf {T < ∞} und T n ↓ T . Außerdem sind die T n Stoppzeiten, denn für t ≥ 0 ist
{T n ≤ t} = ⋃ { }
Tn = k
2 n
k∈N 0
k/2 n ≤t
= ⋃
k∈N 0
k/2 n ≤t
{
T <
k+1
2 n }
\
{
T <
k
2 n }
∈ Ft .
✷