Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

138 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
Damit ist (
) 2
σ
max i
1≤i≤n
s n
= max
1≤i≤n
Nun genügt es, n → ∞ und δ → 0 zu betrachten.
σ 2 i
s 2 n
≤ δ 2 + L n (δ).
✷
5. Beh.: Für 1 ≤ i ≤ n sei
X ni := X i − E[X i ]
s n
.
Falls (X n ) n∈N der Feller-Bedingung genügt, so ist der Einfluss einzelner Summanden in den
standardisierten Summenvariablen Sn ∗ asymptotisch vernachlässigbar, d.h. P − lim X ni = 0
n→∞
gleichmäßig für 1 ≤ i ≤ n, d.h.
lim max P[|X ni| ≥ ɛ] = 0 (ɛ > 0).
n→∞ 1≤i≤n
Denn: es gilt
max
1≤i≤n P[|X ni| ≥ ɛ] ≤ 1 ɛ 2
max
1≤i≤n Var[X ni]
} {{ }
= σ2 i
s 2 n
(
= 1 ɛ max
σ i
) 2
2 1≤i≤n
s n
n→∞
−−−→ 0.
15.8 Hauptsatz (Lindeberg-Feller)
Der zentrale Grenzwertsatz gilt für jede unabhängige Folge (X n ) n∈N mit 0 < σ 2 n = Var[X n ] <
∞, die der Lindeberg-Bedingung genügt, also insbesondere, falls die (X n ) n∈N identisch verteilt
sind.
Beweis: Sei Œ E[X n ] = 0 (n ∈ N). Wir wenden 15.5 mit k = 2 an. 15.5.1 ist erfüllt, 15.5.2 sogar
für k = 3, d.h. für j = 1, 2, denn
∫
∫
yP Xi [dy] = E[X i ] = 0 = yN 0,σ 2
i
[dy],
∫
∫
y 2 P Xi [dy] = Var[X i ] = σi 2 = y 2 N 0,σi [dy]