Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

194 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
22.19 Korollar
Sei Y : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) eine Zufallsvariable. Dann existiert zu jedem X ∈ L 1 (Ω, A, P) eine
Faktorisierung g : Ω ′ → R der bedingten Erwartung E[X|Y ], d.h. g ist A ′ -messbar und E[X|Y ] =
g◦Y. Dabei ist g P Y -integrierbar mit
∫
∫
gdP Y = XdP (A ′ ∈ A ′ )
A ′
Y −1 (A ′ )
und ist durch diese Eigenschaften P Y -fast-sicher eindeutig bestimmt.
Beweis:
Existenz: Nach Definition ist E[X|Y ] σ(Y )-messbar. Mit 22.18 gibt es ein g : Ω ′ → R mit E[X|Y ] =
g ◦ Y und
g ◦ Y ∈ L 1 (Ω, A, P) ⇐⇒ g ∈ L 1 (Ω ′ , A ′ , P Y )
Ferner gilt für A ′ ∈ A ′
∫
∫
XdP =
Y −1 (A ′ )
Y −1 (A ′ )
∫
E[X|Y ]dP =
∫
∫
= 1 A ′gdP Y = gdP Y .
A ′
Y −1 (A ′ )
∫
g ◦ Y dP = (1 A ′g) ◦ Y dP
Eindeutigkeit: Ist h : Ω ′ → R eine P Y -integriebare Zufallsvariable mit
∫
∫
hdP Y = XdP (A ′ ∈ A ′ ),
A ′ Y −1 (A ′ )
so ist h ◦ Y = E[X|Y ] fast sicher, denn h ◦ Y ist σ(Y )-messbar, P-integrierbar mit
∫
∫
∫
h ◦ Y dP = (1 A ′h) ◦ Y dP = hdP Y
Y −1 (A ′ )
A
∫
′
= XdP
Y −1 (A ′ )
und damit h ◦ Y = E[X|Y ] = g ◦ Y P-fast sicher, also h = g P Y -fast sicher.
✷
22.20 Definition
In der Situation von 22.19 heißt g heißt Version der faktorisierten bedingten Erwartung von X
unter der Hypothese Y oder kurz faktorisierte bedingte Erwartung von X unter Y und wird mit
E[X|Y = .] bezeichnet. Für y ∈ Ω heißt
E[X|Y = y] := E[X|Y = .](y)
bedingter Erwartungswert
von X unter der Hypothese {Y = y} (vgl. 22.21.3). Damit gilt
E[X|Y = .] ◦ Y = E[X|Y ] fast sicher
und folgendes Diagramm kommutiert
Y
Ω ..
Ω ′
E[X|Y ] E[X|Y = .]
. . .
.
R