Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

56 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Es gilt nun für (j ≥ N(ɛ), n(j) ≥ N(ɛ))
[ ⋃
∞ ] [ ⋃
m {|f n(j+k) − f| ≥ ɛ} ≤ m {|f n − f| ≥ 1
k=1
k>j
Also konvergiert mit 6.17 (f n(j) ) j∈N fast sicher gegen f.
2 k }
]
≤ ∑ 1
= 1 2 k 2
≤ ɛ.
j
k>j
“⇐”: Sei ɛ > 0 und
[
]
α n := m {|f n − f| ≥ ɛ} .
Definiere die Teilfolge (α n(j) ) j∈N durch
lim α n(j) = lim sup α n .
j→∞
n→∞
Sei (f n(j(k)) ) k∈N eine Teilfolge von (f n(j) ) j∈N mit lim
n→∞ f n(j(k)) = f fast sicher. Nach 6.18
ist
lim
k→∞ α n(j(k)) = 0,
also lim α n = lim sup α n = 0.
n→∞
n→∞
✷
6.20 Bemerkung
Auf L 0 (Ω, A) gibt es keine Pseudometrik d, so dass
f n → f fast sicher
äquivalent ist zu lim α n := lim d(f, f n) = 0.
n→∞ n→∞
Angenommen, es gäbe eine solche Pseudometrik und sei (f n ) n∈N eine gegen f stochastisch, aber
nicht fast-sicher konvergente Folge. Nach 6.19 gibt es zu jeder Teilfolge (α n(j) ) j∈N eine gegen 0 konvergente
Teilfolge (α n(j(k)) ) k∈N . Dann wäre wie im Beweis von 6.19 lim sup α n = 0 im Widersprich
n→∞
zur nicht fast sicheren Konvergenz.
Es gibt aber Pseudometriken, die die stochastische Konvergenz definieren.
6.21 Definition
Eine Familie (f i ) i∈I ∈ (L 1 (m)) I heißt gleichgradig integrierbar, wenn
6.22 Satz
∫
lim sup |f i |dm = 0.
α→∞ i∈I {|f i|≥α}
Sei m ein endliches Maß. Eine Familie (f i ) i∈I ∈ (L 1 (m)) I ist genau dann gleichgradig integrierbar,
wenn
( ∫
) (
∫
)
sup |f i |dm < ∞ ∧ ∀ɛ > 0 ∃δ > 0 ⇒ ∀A ∈ A mit m[A] ≤ δ : |f i |dm ≤ ɛ (i ∈ I) .
i∈I
A
Beweis: