Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

2. MASSE 15
3. Sei (A n ) n∈N ∈ R N ,
n⋃
A i ↑ A ∈ R
i=1
[ ⋃
n ]
Mit 2.3.5 zeigt man induktiv µ A i ≤
Mit 1. gilt:
[ ⋃
∞
µ
n=1
i=1
n∑
µ[A i ]
i=1
] [ ⋃
n ]
A n = sup µ A i ≤ sup
n∈N
i=1
n∈N
(n ∈ N).
n∑
∞∑
µ[A i ] = µ[A n ].
i=1
n=1
✷
2.5 Beispiele
Sei R ein Ring in Ω und µ : R → [0; ∞].
1. m = 0 ist ein Maß.
2. m : A ↦−→ |A| ist ein semiendliches Maß.
{
0, A = ∅
3. m : A ↦→
ist ein Maß, aber i.A. nicht semiendlich.
∞, A ≠ ∅
4. Sei Ω überabzählbar, z.B. Ω = R und
A := {A ⊆ Ω : A abzählbar ∨ CA abzählbar}
die σ-Algebra in Ω aus 1.3.2.
Beh: Dann ist
ein Wahrscheinlichkeitsmaß .
Denn:
m : A ↦→
{
0, A = abzählbar
1, CA abzählbar
1. µ[∅] = 0 ist klar.
2. Zum Beweis der σ-Additivität sei (A n ) n∈N ∈ A N paarweise fremd. Dann gibt es zwei Fälle:
• Alle A n sind abzählbar.
Dann ist ⊎ n∈N
A n abzählbar und
m [ ⊎ ] ∑
A n = 0 =
n∈N
n∈N
0 = ∑ n∈N
m[A n ].
• Es gibt ein k ∈ N, so dass CA k abzählbar ist.
Dann ist A n abzählbar (n ≠ k), denn falls es ein k ′ ≠ k gibt, so dass CA k ′ abzählbar ist,
so ist
A k ∩ A k ′ = C ( )
CA k ∪ CA k ′ ,
} {{ }
abzählbar
also überabzählbar, insbesondere also A k ∩ A k ′ ≠ ∅, d.h. ein Widerspruch.
Damit ist C ⊎ A n = ⋂ CA n ⊆ CA k abzählbar , also
n∈N n∈N
m [ ⊎
n∈N
A n
]
= 1 = m[Ak ] + ∑ n≠k
m[A n ] = ∑ n∈N
m[A n ].