Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

17. KONSTRUKTION STOCHASTISCHER PROZESSE 157
Für den Induktionsanfang m = n+1 sei k ∈ {1, . . . , 2 m } mit t = k2 −m . Dann ist s = (k−1)2 −m
und (∗ ∗ ∗) folgt aus (∗∗).
Für den Indunktionsschluss m → m + 1 sei s, t ∈ D m+1 und
s 1 := min{s ′ ∈ D m : s ′ ≥ s},
t 1 := max{t ′ ∈ D m : t ′ ≤ t}.
Dann ist s ≤ s 1 ≤ t 1 ≤ t und s 1 − s ≤ 2 −(m+1) < 2 −n bzw. t − t 1 ≤ 2 −(m+1) < 2 −n . Mit (∗∗)
folgt dann
||X s1 (ω) − X s (ω)|| ≤ 2 −γ(m+1) , ||X t (ω) − X t1 (ω)|| ≤ 2 −γ(m+1) .
Nach Induktionsannahme gilt
also
||X t1 (ω) − X s1 (ω)|| ≤ 2
m∑
j=n+1
2 −γj ,
||X t (ω) − X s (ω)|| ≤ ||X t (ω) − X t1 (ω)|| + ||X t1 (ω) − X s1 (ω)|| + ||X s1 (ω) − X s (ω)||
m∑
m+1
∑
≤ 2 · 2 −γ(m+1) + 2 2 −γj = 2 2 −γj .
j=n+1
j=n+1
4. Sei δ := 2(1 − 2 −γ ) −1 und ɛ(ω) := 2 −n1(ω) . Für Punkte s, t ∈ D mit 0 < |t − s| < ɛ(ω) wähle
n ≥ n 1 (ω) und m > n mit s, t ∈ D m mit 2 −(n+1) ≤ t − s < 2 −n . Dann ist mit (∗ ∗ ∗)
||X t (ω) − X s (ω)|| ≤ 2
∞∑
j=n+1
2 −γj = 2 · 2 −γ(n+1) 1
1 − 2 −γ ≤ δ|t − s|γ , (v)
also ist (X t ) t∈I lokal Hölder-stetig mit Exponent γ auf Ω 1 . Die Abbildung t ↦→ X t (ω) ist sogar
gleichmäßig stetig auf I ∩ D für ω ∈ Ω 1 , lässt sich also wegen der Vollständigkeit von R d zu
einer stetigen Funktion durch
t ↦→ Y t (ω) = lim
s→t
X s (ω) (ω ∈ Ω 1 )
s∈D
auf I fortsetzen. Für ω ∈ Ω \ Ω 1 sei Y t (ω) := 0. Damit ist (Y t ) t∈I
Exponenten γ, denn für ω ∈ Ω 1 und s, t ∈ I mit 0 < t − s < ɛ(ω) ist
lokal Hölder-stetig mit
||Y t (ω) − Y s (ω)|| =
Für ω /∈ Ω 1 ist dies trivial.
lim ||X t ′(ω) − X s ′(ω)|| ≤ δ lim |t ′ − s ′ | γ = δ|t − s| γ .
s ′ →s, t ′ →t
s ′ →s, t ′ →t
s ′ ,t ′ ∈D
s ′ ,t ′ ∈D
Schließlich ist Y t messbar (t ∈ I), da D abzählbar und Y t auf Ω 1 Limes einer Folge von Zufalsvariablen
X s ist.
Außerdem ist (Y t ) t∈I eine Modifikation von (X t ) t∈I . Für t ∈ I ist dafür P[X t = Y t ] = 1 zu
zeigen. Für t ∈ D und ω ∈ Ω 1 ist X t (ω) = Y t (ω), für t ∈ I \ D gibt es eine Folge (s n ) n∈N ∈ D N
mit s n → t. Dann ist nach 2.
π i ◦ X t = P − lim π i ◦ X sn
(i = 1, . . . , d).
Andererseits ist nach Definition fast sicher Y t = lim X s n
, also erst recht π i ◦ Y t = P − lim π i ◦
n→∞
X sn . Also gilt fast sicher
π i ◦ X t = π i ◦ Y t (i = 1, . . . , d),
d.h. X t = Y t fast sicher.