Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

148 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
2. Das obige Gesetz des iterierten Logarithmus für unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariable
verschärft das starke Gesetz für diese Zufallsvariable. Für ɛ > 0 gilt nämlich
für schließlich alle n fast sicher. Daraus folgt
S n − E[S n ] < (1 + ɛ)σ √ 2n log log n
Also gilt
S n − E[S n ]
n
√
2 log log n
≤ (1 + ɛ)σ
→ 0.
n
lim sup
n→∞
S n − E[S n ]
n
≤ 0 fast sicher.
Geht man nun zur Familie (−X n ) n∈N über, so erhält man
lim inf
n→∞
S n − E[S n ]
n
≥ 0 fast sicher.
Insgesamt erhält man also das starke Gesetz der großen Zahlen
S n − E[S n ]
lim
= 0 fast sicher.
n→∞ n