Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

160 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
1. Ist (P s,t ) s,t∈I
s≤t
stationär und (P t ) t∈I wie angegeben definiert. Dann ist
P s P t = P 0,s P 0,t = P 0,s P s,s+t = P 0,s+t = P s+t
(s, t ∈ I).
2. Ist (P t ) t∈I eine Markoff’sche Halbgruppe und (P s,t ) s,t∈I
s≤t
wie angegeben. Dann ist
P s,t = P 0,t−s und P s,r P r,t = P r−s P t−s = P t−s = P s,t
(s, r, t ∈ I, s ≤ r ≤ t).
✷
18.5 Korollar
Eine Markoff’sche Schar (P s,t ) s,t∈I
s≤t
durch
ist genau dann stationär und translationsinvariant, wenn
µ t := P 0,t [0, .]
eine Faltungshalbgruppe (µ t ) t∈I von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (E, B) definiert wird. Umgekehrt
definiert jede Faltungshalbgruppe (µ t ) t∈I durch
P s,t [x, B] := µ t−s [B − x]
eine stationäre, translationsinvariante Markoff’sche Schar mit Faltungshalbgruppe (µ t ) t∈I . Für
I = R + ist stets µ 0 = ɛ 0 , d.h. die Markoff’sche Schar ist normal.
Beweis:
1. Sei (µ t ) t∈I wie angegeben. Dann gilt
µ s ∗µ t [B] 10.19.2
=
∫
∫
µ s [B − y]µ t [dy] =
∫
P 0,s [0, B − y]P 0,t [0, dy] =
P 0,t [0, dy]P 0,s [y, B]
= P t P s [0, B] = P t+s [0, B = µ t+s [B] = µ s+t [B].
2. Sei (P s,t ) s,t∈I wie angegeben. Dann ist P s,t für s, t ∈ I, s ≤ t ein Markoff-Kern, denn
s≤t
∫
∫
P s,t [x, B] = µ t−s [B − x] = 1 B−x (y)µ t−s [dy] = 1 B (x + y)µ t−s [dy],
d.h. P s,t ist messbar in der ersten und nach 9.12 ein Wahrscheinlichkeitsmaß in der zweiten
Variablen.
Zu zeigen bleiben die Chapman-Kolmogoroff-Gleichungen. Mit T x : y ↦→ x + y ist
P s,r [x, B] = µ r−s [B − x] = µ r−s [Tx
−1 (B)] = T x (µ r−s )[B] = T x (P s,r [0, .])[B],
also
∫
P s,r P r,t [x, B] =
∫
=
∫
P s,r [x, dy]P r,t [y, B] = P t [y, B]T x (P s,r )[0, .][dy]
∫
P r,t [x + y, B]P s,r [0, dy] = µ t−r [B − x − y]µ r−s [dy]
Gemäß 18.4 ist (P s,t ) s,t∈I
s≤t
= (µ t−r ∗µ r−s )[B − x] = µ t−s [B − x] = P s,t [x, B].
stationär und translationsinvariant mit (µ t ) t∈I als Faltungshalbgruppe.