Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

178 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
Dann gibt es ein k ∈ {1, . . . , n}, so dass t ∈ [ a k−1
n ; a n] k . Also ist für
und damit
2. Sei
B mnk :=
B mn :=
3⋂
i=1
s i := a k+i
n − t (i = 0, . . . , 3) : s i ∈ [ 0; a i+1
n
]
⊆
[
0;
4a
n
∣ ∣Xa
k+i (ω) − X t (ω) ∣ ≤
i+1
n ma ≤ 4a m n
(i = 0, . . . , 3).
n
{
|Xa k+i
n
n⋃
B mnk ∈ A
k=1
}
− X ∣
k+i−1 ≤ 8a
m
a n ,
n
und es gilt mit der Dreiecksungleichung für j ≥ n
Also ist
A mn ⊆ {|X t+s − X t ≤ ms, s ∈ [0; 4a n )}
⊆ {∃t ∈ [a k−1
j
; a k j ] : |X a k+i
j
j⋃
⊆
A mn ⊆
{|X k+i a
k=1
j
= B mj (m ∈ N).
∞⋂
B mj =: C mn ∈ A.
j=n
− X t | ≤ 4am
j
, |X k+i−1 − X t | ≤ 4am
a j
; i = 1, 2, 3}
j
− X k+i−1 | ≤ 8am
a j
(i = 1, 2, 3)}
j
3. Beh.: Es ist P[C mn ] = 0 (m, n ∈ N).
Denn: Wegen der Unabhängigkeit der Zuwächse ist
Also ist
und mit
ist also
P[B mnk ] =
3∏
i=1
P [∣ ∣ Xa k+i
n
( ∫ m
(2π ) 8a
a −1/2 n
=
n
−8a m n
= ( 2πa ) −3/2
(16a)
3 m 3
n 3/2 .
P[B mn ] = P [ ⋃
n ]
B mnk ≤
k=1
− X ∣
k+i−1 ≤ 8a
m
a n
n
n ∑
k=1
P[C mn ] ≤ P[B mj ] (j ∈ N)
P[C mn ] = 0.
exp ( )
− x2
2 a n
} {{ }
≤1
]
=
(
N 0,
a
n
]
[
− 8a
m
n ; 8a ] ) m 3
n
) 3 ( ) −3/2n
dx ≤ 2πa 3/2 (16a) 3 m3
n 3
P[B mnk ] ≤ ( 2πa ) −3/2
(16a)
3 m3
n 1/2
n→∞
−−−→ 0
✷