Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

25. MARTINGALKONVERGENZSÄTZE 219
und
|X r |1 {|Xs|≥α} = ∣ Xr 1 {Xs≥α} − X r 1 {Xs≤−α}
∣
und damit für s, t ∈ I mit s ≤ t
∫
{|X s|≥α}
∫
|X s |dP =
{X s≥α}
∫
= −E[X s ] +
∫
X s dP −
∫
≤ ɛ − E[X t ] +
{X s>−α}
{X s>−α}
{X s≤−α}
X s dP
∫
X s dP +
∫
X t dP +
{X s≥α}
{X s≥α}
∫
∫
= ɛ + X t dP − X t dP
{X s≥α}
{X
∫ s≤−α}
∣∣ ∣
≤ ɛ + X t 1 {Xs≥α} − X t 1 {Xs≤−α}
∣dP
∫
= ɛ + |X t |dP.
{|X s|≥α}
X s dP
X t dP
Um zu zeigen, dass (X t ) t∈I gleichgradig integrierbar ist, wollen wir zeigen, dass
∫
sup |X s |dP ≤ 2ɛ
s≤t {|X s|≥α}
für hinreichend große α. Dann ist (X s ) s≤t , aber auch (X s ) s>t gleichgradig integrierbar,
da {s > t} endlich ist. Damit ist dann (X t ) t∈I gleichgradig integrierbar. Nun ist aber
{X t } gleichgradig integrierbar und nach 6.22 gibt es ein δ > 0 mit
∫
A
|X t |dP ≤ ɛ (A ∈ A, P[A] ≤ δ).
Ferner ist (X s + , F s ) s∈I
23.6.4 und folglich ist
ein Submartingal nach 23.11, also ist s ↦→ E[X + s ] isoton nach
sup
s∈I
E[|X s |] = sup E[−X s + 2X s + ] ≤ − inf E[X s] + 2E[X 0 + ] =: β < ∞.
s∈I
s∈I
Also gilt nach 6.14 für s ∈ I und hinreichend große α
P[|X s | ≥ α] ≤ 1 α E[|X s|] ≤ β α ≤ δ,
also
∫
∫
sup |X s |dP ≤ ɛ + |X t |dP ≤ 2ɛ
s≤t {|X s|≥α}
{|X s|≥α}
für hinreichend großes α. Nach der Definition der gleichgradigen Integrierbarkeit 6.21
folgt die Behauptung.
“2.⇒1.”: Jede gleichgradig integrierbare Menge ist nach 6.22 L 1 (Ω, A, P)-beschränkt.
✷