Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

98 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
Dann ist wegen der Unabhängigkeit der X i
n⊗
Q = Q i .
i=1
Definiere
i=1
i=1
Y :
{
R n → R
(y 1 , . . . , y n ) ↦→ |y 1 · . . . · y n |.
Damit ist
E [∣ ∣
∏ n ∣] [
n⊗
∫ ∫
]
X i =E Y ◦ X i = Y dQ = Y d
∫
=
n⊗
VertX i
i=1
∫
∫
∏
. . . |y 1 · . . . · y n |Q 1 (dy 1 ) . . . Q n [dy n ] = n
i=1
∏
|y i |Q i [dy i ] = n E[|X i |].
i=1
Daraus folgt die Behauptung im Fall 1. und die Integrierbarkeit im Fall 2. Die Multiplikativität
der Erwartungswerte im Fall 2. folgt durch Wiederholung des Arguments mit
{
R n → R
Y :
(y 1 , . . . , y n ) ↦→ y 1 · . . . · y n .
10.14 Definition
Seien X, Y ∈ L 2 (Ω, A, P).
1. X und Y heißen unkorrelliert, wenn E[X · Y ] = E[X] · E[Y ].
2. Die durch
Kov[X, Y ] = E [ (X − E[X])(Y − E[Y ]) ] = E[X · Y ] − E[X · Y ]
gegebene Zahl heißt Kovarianz von X und Y .
3. Ist σ(X), σ(Y ) > 0, so definiert man durch
den Korrellationskoeffizient von X und Y .
10.15 Bemerkung
Sei wieder X, Y ∈ L 2 (Ω, A, P).
kor[X, Y ] = Kov[X, Y ]
σ[X] · σ[Y ]
1. Wegen 5.5 und 5.8 ist X, Y, X · Y, [ X − E[X] ][ Y − E[Y ] ] ∈ L 1 (P).
✷
2. Durch Defnition gilt
Außerdem ist
Var[X] = Kov[X, X].
Var[αX + β] = α 2 Var[X]
(α, β ∈ R).
3. Ist Var[X] = 0 oder Var[Y ] = 0, so sind X und Y unkorrelliert, denn wegen Var[X] = 0 =
E[[X − E[X]] 2 ] ist X = E[X] fast sicher. Deswegen gilt
E[X · Y ] = E[E[X] · Y ] = E[X] · E[Y ].