Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

12. 0-1-GESETZE 115
Also sei Œ a := inf{α ∈ R : F (α) = 1} mit |a| < ∞ für die Verteilungsfunktion F von P X . Dann
gilt
F (b) = 1 (b > a) und F (b) = 0 (b < a).
Weiter ist
und
Damit ist
d.h. X = a fast sicher.
12.13 Korollar
P[X < a] = sup P[X ≤ a − 1 n ] = 0
n∈N
P[X ≤ a] = inf
n∈N P[X ≤ a + 1 n ] = 1.
P[X = a] = P[X ≤ a] − P[X < a] = 1 − 0 = 1,
Sei (X n ) n∈N eine unabhängige Folge reeller Zufallsvariablen und (α n ) eine Nullfolge reeller Zahlen.
Dann existiert
n∑
lim α n X i
n→∞
in R und es gibt ein a ∈ R mit
[
P lim α n
n→∞
Ist insbesondere jedes X n integrierbar, so gilt
[
P
lim
n→∞
1
n
n∑
]
(X i − E[X i ]) = 0
i=1
n∑
i=1
i=1
[
= 0 oder P
]
X i = α = 1.
lim
n→∞
1
n
n∑
]
(X i − E[X i ]) = 0 = 1.
i=1
✷