Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

100 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
10.18 Hauptsatz
Sind X 1 , . . . , X n : (Ω, A, P) → R p unabhängige Zufallsvariablen, so ist
(
∑ n
Vert
i=1
X i
)
= n ∗
i=1
VertX i .
Beweis: Wegen
ist
n∑
X i = S n ◦
n⊗
i=1
i=1
X i
(
∑ n
Vert
i=1
X i
)
= Vert ( S n ◦
n⊗ )
X i = (Sn ◦
i=1
( ⊗
n )
= S n P Xi =
i=1
n
∗
i=1
n⊗
i=1
P Xi = n ∗
i=1
X i )(P) = S n (P N n
i=1 Xi)
VertX i .
✷
10.19 Bemerkung
1. Beh.: m 1 ∗ . . . ∗ m N ist ein endliches Borel-Maß auf R p .
Denn:
(m 1 ∗ . . . ∗ m n )[R p ] = ( ⊗
n )
m i (S
−1
n (R p )) =
} {{ }
i=1
=(R p ) n
n∏
m i [R p ] < ∞.
2. Beh.: Die Faltungsoperation ist kommutativ, distributiv und assoziativ auf M b +(R p ).
Denn:
Kommutativität: Für f ∈ L 0 +(R, B(R)) gilt
∫
∫
∫
fd(m 1 ∗ m 2 ) = fd(S 2 (m 1 ⊗ m 2 )) 8.4
= (f ◦ S 2 )d(m 1 ⊗ m 2 )
∫
= f(x 1 + x 2 )m 1 ⊗ m 2 [d(x 1 , x 2 )
9.15
=
9.16
∫ ∫
i=1
f(x 1 + x 2 )m 1 [dx 1 ]m 2 [dx 2 ]
∫
= f(x 1 + x 2 )m 2 ⊗ m 1 [d(x 1 , x 2 )]
∫
∫
= fd(S 2 (m 2 ⊗ m 1 )) = fd(m 2 ∗ m 1 ).
Distributivität: Wie oben gilt für f ∈ L 0 +(R, B(R))
∫
∫ ∫
fd(m 0 ∗ (m 1 + m 2 )) = f(x 1 + x 2 )m 0 [dx 1 ](m 1 + m 2 )[dx 2 ]
∫ ∫
= f(x 1 + x 2 )m 0 [dx 1 ]m 1 [dx 2 ]